Энциклопедический словарь юного математика

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые. Н. И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев – к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и B. C. Владимиров – к проблемам квантовой теории поля.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

Конические сечения – кривые, получающиеся при сечении кругового конуса (точнее – конической поверхности) плоскостью, не проходящей через его вершину.

Получающиеся при этом ограниченные фигуры (рис. 1) оказываются эллипсами, а неограниченные – гиперболами (если секущая плоскость пересекает обе полости конуса) или параболами (если секущая плоскость пересекается лишь с одной из его полостей). Все виды конических сечений легко получить с помощью карманного фонарика, направляя его под разными углами на ровную площадку. Правда, при этом у гиперболы мы увидим лишь одну ветвь. Для того чтобы увидеть вторую, нужно ось фонарика повернуть на 180°.

Рис. 1

Одинаковый способ получения различных конических сечений влечет и сходство уравнений, описывающих эти кривые. В секущей плоскости можно так выбрать систему координат, чтобы уравнение конического сечения имело вид y²=2px+λx², где p и λ - постоянные. Если p ≠ 0, то это уравнение определяет параболу при λ=0, эллипс – при λ < 0, гиперболу – при λ > 0. Геометрическое свойство конических сечений, содержащееся в приведенном уравнении, было известно древнегреческим ученым и послужило для Аполлония Пергского (примерно II в. до н.э.) поводом присвоить отдельным типам конических сечений названия, сохранившиеся до наших дней: греческое слово «парабола» означает «приложение» (так как в греческой геометрии превращение прямоугольника данной площади y² в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2p называлось приложением данного прямоугольника к этому основанию); слово «эллипс» означает «недостаток» (приложение с недостатком), слово «гипербола» - «избыток» (приложение с избытком).

Очень похожи уравнения конических сечений в полярных координатах. Если за полюс взять фокус кривой, а за полярную ось – ось кривой, проходящую через фокус, то получим уравнение

.

Оно будет уравнением эллипса при 0≤ε≤1 (при ε=0 получим окружность). Парабола будет описываться этим уравнением при ε=1, а гипербола при ε>1. Число ε называется эксцентриситетом конического сечения, а p - его фокальным параметром.

Математики Древней Греции рассматривали только сечения, перпендикулярные какой-либо образующей конуса, а различные типы кривых получали путем изменения угла раствора конуса. В частности, они обнаружили, что для любого коническою сечения, кроме окружности, в его плоскости существует такая прямая, для которой отношение расстояний точек на кривой до фокуса к расстоянию до этой прямой равняется эксцентриситету этого конического сечения (рис. 2). Такая прямая была названа директрисой этой кривой.

Рис. 2

Математический интерес к коническим сечениям во многом обусловлен тем, что если записать уравнение такого сечения в произвольной декартовой системе координат на секущей плоскости, то оно всегда будет алгебраическим уравнением второго порядка, т.е. будет иметь вид:

ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0.

И наоборот, кривая, описываемая таким уравнением, является коническим сечением, за исключением случаев, когда коэффициенты этого уравнения связаны определенными соотношениями.

Все тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллипсам. Небесные тела, попадающие в Солнечную систему из других звездных систем, движутся вокруг Солнца по гиперболической орбите и, если на их движение не оказывают существенного влияния планеты Солнечной системы, покидают се по этой же орбите. По эллипсам движутся вокруг Земли ее искусственные спутники и естественный спутник – Луна, а космические корабли, запущенные к другим планетам, движутся по окончании работы двигателей по параболам или гиперболам (в зависимости от скорости) до тех пор, пока притяжение других планет или Солнца не станет сравнимо с земным притяжением (рис. 3).

Рис. 3

КОНУС

Прямой круговой конус (от греческою слова konos - «сосновая шишка») – это фигура, получающаяся при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рис. 1 треугольник ABC вращается около катета AC; точка A называется вершиной конуса, прямая AC - его осью, отрезок AC (и его длина) – высотой конуса. Конус ограничен боковой поверхностью, образующейся при вращении гипотенузы AB, и основанием – кругом, получающимся при вращении второю катета BC.

Рис. 1