Энциклопедический словарь юного математика

С глубокой древности рассматриваются также конические поверхности, составленные из всех прямых пространства, пересекающих данную прямую (ось) в одной точке (вершине), и образующие с осью данный, отличный от прямого, угол. Составляющие коническую поверхность прямые называются ее образующими – они получаются из одной образующей вращением около оси, и поэтому такую коническую поверхность часто называют конусом вращения (рис. 2). Вершина A разделяет конус вращения на две полости. Прямой круговой конус можно определить как часть пространства, ограниченную одной полостью конической поверхности и пересекающей эту полость плоскостью, перпендикулярной оси (рис. 2, вверху). Часть пространства, ограниченная полостью конуса и двумя такими плоскостями, называют усеченным (прямым круговым) конусом (рис. 2, внизу). В пересечении конической поверхности с плоскостью, кроме окружности, могут получиться эллипс, парабола, гипербола (см. Конические сечения). Плоскость, проходящая через вершину конуса A, в сечении может дать пару образующих или единственную образующую (в этом случае плоскость называется касательной к конусу), или же единственную точку A.

Рис. 2

Обобщенный конус с основанием – произвольной плоской фигурой M – и вершиной – не лежащей в плоскости M точкой A - это фигура, которую заполняют отрезки AX, соединяющие вершину со всеми точками X на основании M (рис. 3). Если M - круг, то получается круговой конус, а если к тому же вершина A проецируется в центр круга M, то мы приходим как раз к прямому круговому конусу. Другой частный случай обобщенного конуса – пирамида, получающаяся в том случае, если M – многоугольник. Сечение обобщенного конуса параллельной основанию M плоскостью – фигура M' – разбивает конус на меньший конус и обобщенный усеченный конус с основаниями M и M' (рис. 4). Объем любого конуса (в том числе прямого кругового и пирамиды) вычисляется по формуле:

V=1/3 SH,

где S - площадь основания, а H - высота конуса, т.е. расстояние от вершины A до плоскости основания. Объем любого усеченного конуса равен

,

где S₁ и S₂ - площади оснований M и M', а высота H определяется как расстояние между плоскостями оснований.

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса вычисляется по формуле S₆=πRl, где R – радиус основания, l - длина образующей конуса. Для усеченного (прямого кругового) конуса S₆=π(R+r)l, где R и r – радиусы оснований, l - длина его образующей.

Рис. 3

Рис. 4

КООРДИНАТЫ

Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.

В XIV в. французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту. Такую систему координат стали называть декартовой. Точку O пересечения прямых называют началом, а сами направленные прямые – осями координат, ось Ox – осью абсцисс, а ось Oy – осью ординат. Числа x,y называют декартовыми координатами точки (x;y). Точка плоскости – геометрический объект – заменяется парой чисел (x;y), т.е. алгебраическим объектом. Принадлежность точки заданной кривой теперь соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a;b) удовлетворяют уравнению (x-a)²+ (y-b)²=R²(рис. 1).

Рис. 1

Для определения положения точки в пространстве требуется введение третьей оси – оси аппликат (рис. 2). Таким образом, положение точки в пространстве будет уже задаваться тремя числами.

Рис. 2

Особенно просто описываются в декартовых координатах прямые и плоскости. Так, уравнение любой прямой на плоскости в декартовой системе координат записывается в виде: Ax+By+C=0, и наоборот, всякому такому уравнению, у которого числа A и B одновременно не являются нулями, удовлетворяют точки некоторой прямой.

Числа A и B имеют важный геометрический смысл: вектор с координатами {A,B} перпендикулярен соответствующей прямой (рис. 3). Следует, что если у двух прямых A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0 коэффициенты при переменных пропорциональны:

A₁/A₂ = B₁/B₂,

то эти прямые параллельны, поскольку параллельны перпендикулярные им векторы {A₁,B₁} и {A₂,B₂}. А если эти прямые перпендикулярны, то соответствующие им векторы также будут перпендикулярны, а следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю:

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Рис. 3