Читаем Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел полностью

Евклид сформулировал свою геометрию на основе нескольких постулатов, которые считал аксиомами. В математике аксиомы — это очевидные истины, не требующие доказательства. Евклид определил пять постулатов.

1. Через две точки можно провести одну и только одну прямую, соединяющую их.

2. Каждый отрезок может быть бесконечно продолжен в любом направлении.

3. Можно провести любую окружность с центром в любой точке и с любым радиусом.

4. Все прямые углы подобны, то есть имеют одинаковый размер и совпадают, если их наложить друг на друга перемещением.

5. Через точку, не принадлежащую прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

На самом деле, Евклид должен был бы включить еще два постулата, которыми он пользуется в своих доказательствах:

— две окружности, центры которых разделены расстоянием меньше суммы радиусов, пересекаются в двух точках (Евклид пользуется им в своем первом построении);

— два треугольника с двумя равными сторонами и равными соответственными углами подобны, то есть имеют равные углы и стороны и, следовательно, имеют одну и ту же форму и размер.

ЕВКЛИД

Евклид (325-265 до н.э.) — греческий математик и геометр, известный как отец геометрии. О его жизни мы знаем крайне мало, кроме того, что он жил в Александрии во время правления Птолемея I. Его работа «Начала» — одна из самых известных научных работ в мире и, после Библии, наиболее часто издаваемая и переводимая. В нее входят сведения, которые Евклид распространял в Александрийской библиотеке, и это все геометрическое знание того времени. В «Началах» в строгом виде, на основе исключительно пяти постулатов, рассказывается о свойствах линий и плоскостей, кругов и сфер, треугольников и конусов, и так далее, то есть правильных форм. Возможно, ни один из результатов в «Началах» не был впервые доказан Евклидом, но именно он организовал материал и систематизированно изложил его. Самые известные доказательства Евклида соответствуют следующим теоремам:

— сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°;

— в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (знаменитая теорема Пифагора).

Страница «Начал» Евклида из так называемого Манускрипта d’Orville, написанного на греческом языке в Константинополе в 888 году, который хранится в Бодлианской библиотеке Оксфордского университета.

Евклидова геометрия не только стала мощным инструментом дедуктивного рассуждения, но и оказалась чрезвычайно полезной во многих отраслях знания, например в физике, астрономии, химии и инженерных областях. В работу Евклида изменения не вносились вплоть до XIX века, пока Гаусс не сформулировал несколько видов неевклидовой геометрии, исключив ее пятый постулат.

Евклид предположил, что все постулаты очевидны и не требуют доказательства. Это не подвергалось сомнению до такой степени, что Кант в своей «Критике чистого разума» утверждал: понятия Евклида являются существенным компонентом нашего видения мира. Однако оказалось, что последний постулат в некотором роде независим и что можно отрицать его, не войдя в противоречие с предыдущими. Идея в том, чтобы по-новому определить параллельные линии, перенеся это понятие в иные, отличные от плоскости, пространства.

Перейти на страницу:

Похожие книги

Прикладные аспекты аварийных выбросов в атмосферу
Прикладные аспекты аварийных выбросов в атмосферу

Книга посвящена проблемам загрязнения окружающей среды при авариях промышленных предприятий и объектов разного профиля и имеет, в основном, обзорный справочный характер.Изучается динамика аварийных турбулентных выбросов при наличии атмосферной диффузии, характер расширения турбулентных струйных потоков, их сопротивление в сносящем ветре, эволюция выбросов в реальной атмосфере при наличии инверсионных задерживающих слоев.Классифицируются и анализируются возможные аварии с выбросами в атмосферу загрязняющих и токсичных веществ в газообразной, жидкой или твердой фазах, приводятся факторы аварийных рисков.Рассмотрены аварии, связанные с выбросами токсикантов в атмосферу, описаны математические модели аварийных выбросов. Показано, что все многообразие антропогенных источников загрязнения атмосферного воздуха при авариях условно может быть разбито на отдельные классы по типу возникших выбросов и характеру движения их вещества. В качестве источников загрязнений рассмотрены пожары, взрывы и токсичные выбросы. Эти источники в зависимости от специфики подачи рабочего тела в окружающее пространство формируют атмосферные выбросы в виде выпадающих на поверхность земли твердых или жидких частиц, струй, терминов и клубов, разлитий, испарительных объемов и тепловых колонок. Рассмотрены экологические опасности выбросов при авариях и в быту.Книга содержит большой иллюстративный материал в виде таблиц, графиков, рисунков и фотографий, который помогает читателю разобраться в обсуждаемых вопросах. Она адресована широкому кругу людей, чей род деятельности связан преимущественно с природоохранной тематикой: инженерам, научным работникам, учащимся и всем тем, кто интересуется экологической и природозащитной тематикой.

Вадим Иванович Романов

Математика / Экология / Прочая справочная литература / Образование и наука / Словари и Энциклопедии
Загадки, фокусы и развлечения
Загадки, фокусы и развлечения

Вашему вниманию предлагается очередная, четвертая, книга популярного российского ученого и педагога Я. И. Перельмана. Она составлена из двух малоизвестных сейчас произведений 20-х годов прошлого века: «Фокусы и развлечения» и «Ящик загадок и фокусов».Автор предстает перед нами в необычном качестве – мага и чародея. Он дает возможность своему читателю увидеть удивительные фокусы, раскрывая затем их математических секреты. Пораженный читатель видит необычайные и «чудесные» вещи, которые, как потом оказывается, основаны на простых арифметических расчетах.Я. И. Перельман собрал интересные опыты и изумляющие окружающих фокусы, для проделывания которых потребуются самые обыденные предметы, всегда находящиеся под рукой. Все это непременно вызовет интерес ваш и вашего ребенка к точным наукам и скрасит ваш досуг.Фокусы эти «честные и добросовестные», и, проявив сообразительность и умение рассуждать, их сможет проделать каждый. Вы узнаете нечто такое, о чем другие даже не догадываются. А показывая их своим друзьям и знакомым, вы сможете творить чудеса, как профессиональный фокусник. Вы поразите воображение своих зрителей, на их глазах превратившись в математического гения.Авторская стилистика письма сохранена без изменений; приведенные в книге статистические данные соответствуют первой половине XX века.

Яков Исидорович Перельман

Развлечения / Детская образовательная литература / Игры, упражнения для детей / Математика / Книги Для Детей / Дом и досуг
До предела чисел. Эйлер. Математический анализ
До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

Леонард Эйлер, без всякого сомнения, был самым выдающимся математиком эпохи Просвещения и одним из самых великих ученых в истории этой науки. Хотя в первую очередь его имя неразрывно связано с математическим анализом (рядами, пределами и дифференциальным исчислением), его титаническая научная работа этим не ограничивалась. Он сделал фундаментальные открытия в геометрии и теории чисел, создал с нуля новую область исследований — теорию графов, опубликовал бесчисленные работы по самым разным вопросам: гидродинамике, механике, астрономии, оптике и кораблестроению. Также Эйлер обновил и установил систему математических обозначений, которые очень близки к современным. Он обладал обширными знаниями в любой области науки; его невероятный ум оставил нам в наследство непревзойденные труды, написанные в годы работы в лучших академиях XVIII века: Петербургской и Берлинской.  

авторов Коллектив

Математика / Физика / Научпоп / Образование и наука / Документальное