Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Предположим, например, что основную поддержку политическая партия получает в прибрежных районах. Включение всех живущих там избирателей в один округ приведет к тому, что округ получится длинным, узким и извилистым и будет тянуться вдоль всего побережья. Это совершенно неестественно в сравнении с остальными компактными и разумными по форме округами. Нетрудно прийти к выводу, что здесь происходит что-то подозрительное, а границы проведены так, чтобы сделать бесполезными как можно больше голосов избирателей этой партии. Странная форма перекроенных избирательных округов часто свидетельствует о манипуляциях, как это было в случае необычного округа губернатора Джерри.

Правоведы могут спорить до умопомрачения о том, какую именно форму следует считать странной. Поэтому в 1991 году юристы Дэниел Полсби и Роберт Поппер предложили способ количественной оценки необычности формы, известный сегодня как тест Полсби – Поппера{8}. Он вычисляется по формуле:

4π × площадь округа/квадрат периметра округа.

Человек, хоть немного знакомый с математикой, сразу обратит внимание на множитель 4π. Подобно приятелю Вигнера, который не понимал, как численность населения связана с окружностями, мы можем спросить, какое отношение окружности имеют к политическим играм с избирательными округами. Ответ необычайно прост и прямолинеен: круг – самая компактная из геометрических фигур.

Этот факт имеет давнюю историю. Согласно древнегреческим и древнеримским источникам, а именно поэме Вергилия «Энеида» и «Филипповой истории» Гнея Помпея Трога, основательницей города-государства Карфагена была царица Дидона. Историческое повествование Трога кратко пересказал Юниан Юстин в III веке, и в его рассказе мы находим поразительную легенду. Дидона и ее брат Пигмалион были наследниками неназванного царя города Тира. После смерти царя народ хотел, чтобы им правил Пигмалион, несмотря на юный возраст. Дидона вышла замуж за своего дядю Акербаса, который, по слухам, обладал несметными сокровищами. Пигмалион захотел получить эти сокровища, а потому убил Акербаса. Дидона сделала вид, что выбросила его сокровища в море, хотя на самом деле утопила просто мешки с песком. Опасаясь, вполне разумно, гнева Пигмалиона, она бежала сначала на Кипр, а затем на северное побережье Африки. Там Дидона обратилась к берберскому царю Ярбу с просьбой выделить небольшой участок земли, где она могла бы пожить какое-то время. Тот ответил, что разрешает ей забрать себе столько земли, сколько удастся окружить бычьей шкурой. Дидона разрезала шкуру на тонкие полоски и охватила ими близлежащий холм, который до сего дня носит название Бирса, что значит «шкура». Основанное там поселение стало городом Карфагеном, и, когда он вырос и разбогател, Ярб сказал Дидоне, что она должна выйти за него замуж – или ее город будет разрушен. Дидона принесла множество жертв на громадном костре, сделав вид, что хочет почтить таким образом своего первого мужа и подготовиться к браку с Ярбом, затем взошла на костер, сказала, что скорее присоединится к первому мужу, чем уступит притязаниям Ярба, и пронзила себя мечом.

Мы не знаем, существовала ли Дидона на самом деле (хотя Пигмалион определенно существовал, и в некоторых источниках наряду с ним упоминается и Дидона). Поэтому говорить об исторической точности этой легенды бессмысленно. Как бы то ни было, в исторической легенде кроется легенда математическая: Дидона использовала шкуру, чтобы окружить холм, выложить из ремешков окружность вокруг него. Почему окружность? Потому что – как утверждают математики – она знала, что именно окружность охватывает максимально большую площадь для заданного периметра{9}. Этот факт носит впечатляющее название «изопериметрическое неравенство». Он был известен еще в Древней Греции, но строгое доказательство получил только в 1879 году, когда математик Карл Вейерштрасс заполнил пробел в пяти различных доказательствах, опубликованных геометром Якобом Штейнером. Штейнер доказал, что если оптимальная фигура существует, то это должна быть окружность, но он не сумел доказать ее существование{10}.

Изопериметрическое неравенство гласит, что

квадрат периметра больше или равен 4π × площадь.

Это применимо к любой плоской геометрической фигуре, у которой есть периметр и площадь. Более того, постоянная 4π – наилучшая из возможных (ее невозможно сделать больше), и вариант «больше или равно» превращается в равенство только в том случае, когда фигура – круг{11}. Именно изопериметрическое неравенство навело Полсби и Поппера на мысль о том, что величина, которую я назвал тестом Полсби – Поппера (ПП), может служить эффективным способом оценки округлости геометрической фигуры. Вот несколько примеров:

Круг: ПП = 1;

Квадрат: ПП = 0,78;

Равносторонний треугольник: ПП = 0,6.

Для избирательного округа по Джерри ПП составляет примерно 0,25.