Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

В государстве Джерримандия за власть борются две политические партии, Светлые и Темные. В этом государстве 50 районов, которые следует распределить по пяти избирательным округам. На недавних выборах Светлые получили большинство в 20 северных районах, тогда как Темные имели большинство в 30 южных районах (рис. вверху слева). Правительство Светлых, которые с минимальным перевесом победили в предыдущем голосовании, изменило границы избирательных округов, обеспечив большинство своих сторонников в трех округах (вверху справа), так что теперь Светлые побеждают в трех округах, а Темные получают только два. После этого Темная партия оспаривает изменение границ в суде на том основании, что форма и границы новых избирательных округов с очевидностью говорят о подтасовке, и умудряется получить контроль над изменением границ перед следующими выборами. Темные используют метод распыления (внизу слева), чтобы обеспечить себе победу во всех пяти избирательных округах.

Если избирательные округа должны состоять из 10 небольших квадратных районов каждый, лучшее, что могут получить Светлые методом концентрации, это три округа из пяти. Им необходимо выиграть выборы в шести районах из 10, чтобы победить в округе в целом, а всего они контролируют 20 районов. Это дает им три шестерки плюс еще два района, которые оказываются бесполезными. Лучшее, чего могут добиться Темные методом распыления, – это получить все пять округов. Пропорциональное представительство дало бы Светлым два округа, а Темным – три, как показано на рисунке внизу справа. (На практике пропорциональное представительство не достигается разбиением на избирательные округа.)

* * *

Страны с диктаторским или близким к нему режимом в большинстве своем проводят выборы, чтобы показать миру, насколько они демократичны. Результаты этих выборов обычно подтасовываются, и даже если их разрешено оспорить в суде, разбирательства никогда не бывают успешными из-за небеспристрастности судов. В демократических странах можно не только опротестовать изменение границ избирательных округов, но и выиграть дело, потому что суды не зависят от правящей партии. Если, конечно, судьи не назначаются по партийной принадлежности.

В подобных случаях основная проблема, с которой сталкиваются судьи, носит неполитический характер. Все упирается в поиск объективного способа, позволяющего определить, имела ли место подтасовка. На каждого «эксперта», который посмотрит на карту и заявит, что видит явный случай подтасовки, всегда найдется другой «эксперт», который придет к противоположному выводу. Необходимы более объективные методы, чем личное мнение и словесные аргументы.

Здесь определенно нужна математика. Формулы и алгоритмы позволяют количественно оценивать разумность и справедливость границ округов и выявлять их необъективность в четко определенном смысле. Сама по себе разработка этих формул и алгоритмов не объективный процесс, конечно, но, как только они становятся общепринятыми (а это отчасти процесс политический), каждый может воспользоваться ими и проверить результаты независимо. Это дает суду логическую основу для принятия решения.

Разобравшись в коварных методах, которые дают политикам возможность изменять границы избирательных округов в свою пользу, можно придумать математические критерии или правила, позволяющие распознавать применение этих методов. Ни одно подобное правило не может быть идеальным – более того, существует доказательство, что это невозможно, к которому я перейду, как только мы поймем суть правил. В настоящее время используются пять подходов:

• Выявление избирательных округов странной формы.

• Выявление несоответствия в соотношении получаемых мест и числа голосов.

• Оценка количества бесполезных голосов, создаваемого данным делением на округа, и его сравнение с тем значением, которое законно считается приемлемым.

• Анализ всех возможных конфигураций округов и оценка вероятного результата при каждой из них с точки зрения количества полученных мест на основе существующих данных об избирателях, чтобы понять, является ли предложенная карта статистической аномалией.

• Выработка процедур, гарантирующих, что итоговое решение будет справедливым, что его сочтут справедливым и что обе партии согласятся с его справедливостью.

Пятый подход – самый удивительный, но, как ни странно, его на самом деле можно реализовать. Рассмотрим эти подходы по очереди, оставив удивительное напоследок.

* * *

Во-первых, округа странной формы.

Еще в 1787 году Джеймс Мэдисон писал в «Записках федералиста», что «естественным пределом любой демократии является расстояние от центральной точки, которое позволит самым далеко живущим гражданам собираться так часто, как того требуют их общественные функции». Если воспринимать это буквально, он предлагал делать избирательные округа приблизительно круглыми и не настолько большими, чтобы время пути от периферии до центра было чрезмерным.