Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Однако у ПП есть серьезные недостатки. Необычные формы избирательных округов иногда бывают неизбежными из-за таких особенностей местной географии, как реки, озера, леса и очертания побережий. Более того, избирательный округ может быть аккуратным и компактным и при этом очевидно организованным с целью манипуляций. Так, карта избирательных округов на выборах 2011 года в законодательное собрание штата Пенсильвания выглядела очень причудливо и неестественно, и в 2018 году республиканцы подготовили предложения по ее изменению. Предложенные округа полностью соответствовали пяти параметрам, определенным Верховным судом штата, но математический анализ распределения голосов в округах показал, что границы все равно не были объективными и заметно влияли на результаты голосования.

Даже масштаб карты может вызвать проблемы. Основная из них – фрактальность геометрии. Фрактал – это геометрическая фигура с детальной структурой во всех масштабах. Многие природные формы больше похожи на фракталы, чем на евклидовы треугольники и окружности. Береговые линии и облака можно очень эффективно моделировать в виде фракталов, что позволяет отразить их замысловатую форму. Термин «фрактал» пустил в обращение в 1975 году Бенуа Мандельброт, разработавший и активно продвигавший новую область – фрактальную геометрию. Береговые линии и реки представляют собой чрезвычайно извилистые фрактальные кривые, и их длина при измерении сильно зависит от того, насколько мелкий масштаб при этом используется. На самом деле длина фрактальной кривой теоретически бесконечна, что в переводе на язык повседневной реальности звучит так: «Измеренная длина возрастает безгранично по мере того, как вы рассматриваете объект все в больших подробностях». Так что юристы могут спорить до бесконечности об измерении периметра, не говоря уже о том, был ли данный избирательный округ изменен с целью манипуляции.

* * *

Поскольку странность формы такой неточный параметр, имеет смысл попробовать что-нибудь более определенное. Соответствуют ли результаты голосования статистическим избирательным паттернам электората?

Если на выборах идет борьба за 10 мест, а симпатии избирателей распределяются 60:40, то можно ожидать, что шесть мест получит одна партия, а четыре – другая. Если же одна партия получит все 10 мест, то можно заподозрить подтасовку. Однако на самом деле все не так просто. Результат такого рода обычен в мажоритарных системах голосования. Так, во время всеобщих выборов 2019 года в Великобритании Консервативная партия получила 44 % голосов, но 365 из 650 мест, что составляет 56 % всех мест. Лейбористы получили 32 % голосов и 31 % мест. Шотландские националисты с 4 % голосов получили 7 % мест (хотя это особый случай, поскольку их избирательная база целиком находится в Шотландии). Либеральные демократы получили 12 % голосов и 2 % мест. Большая часть несоответствий здесь была следствием региональных избирательных паттернов, а не странно проведенных границ избирательных округов. В конце концов, если результат двухпартийных выборов одного человека, скажем президента, решается простым большинством, то 50 % голосов (плюс один голос) будет достаточно для получения поста целиком.

Вот американский пример. В штате Массачусетс на федеральных и президентских выборах с 2000 года республиканцы получали в целом более трети голосов. Тем не менее в последний раз республиканцы занимали в этом штате хотя бы одно место в палате представителей аж в 1994 году. Подтасовка? Похоже, нет. Если эта треть республиканских избирателей распределена по территории штата более или менее равномерно, то, как бы вы ни проводили границы округов – исключая экстремальные варианты, при которых границы огибают дома отдельных граждан, – доля сторонников Республиканской партии в каждом округе составит приблизительно одну треть. Демократы победят везде. Именно так и происходило все эти годы.

Слева: предложение Светлых, при котором границы двух округов оставлены на усмотрение Темных. Справа: наиболее компактный вариант, который Темные могли бы выбрать

Во время одних реальных выборов математики показали, что такой эффект может оказаться неизбежным, как ни проводи границы, по крайней мере если не делить на части отдельные городки. В 2006 году, когда Кеннет Чейз боролся против Эдварда Кеннеди на выборах в сенат США, Массачусетс был разделен на девять избирательных округов. Чейз получил 30 % голосов, но проиграл во всех девяти округах. Компьютерный анализ вариантов показал, что ни один набор городов, объединенных в округ, даже если брать города, разбросанные по территории штата произвольным образом, не принес бы Чейзу победу. Его сторонники были распределены по большинству городов довольно равномерно, и обеспечить ему победу не удалось бы, какие границы ни проведи.