Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Математикам больше всего нравятся доказательства с ясным началом, серединой и концовкой, захватывающей историей от формулировки гипотезы до выведения теоремы. Повествование здесь важнее, чем придирчивая логика. Цели должны быть ясными, четкими и, самое главное, убедительными. При этом следует помнить, что математиков всегда было очень трудно убедить.

Специалисты по информатике, изучающие машинную проверку доказательств, предложили совершенно иной подход: интерактивные доказательства. Вместо того чтобы представлять доказательство как повествование, написанное одним математиком и читаемое другим, этот подход превращает доказательство в диспут. Один математик, традиционно его называют Пат, хочет убедить Ванну в том, что его доказательство корректно. Ванна, напротив, хочет убедить его, что он ошибается. Они задают друг другу вопросы и дают на них ответы, пока один из них не уступит. (Пат Саджак и Ванна Уайт были ведущими популярного американского телешоу «Колесо фортуны».) Все это напоминает партию в шахматы, где Пат обещает «мат в четыре хода». Ванна не соглашается, так что Пат делает ход. Ванна ходит в ответ: «А что, если я пойду так?» И Пат делает следующий ход. Этот обмен репликами продолжается до тех пор, пока Ванна не проиграет. После этого она начинает отыгрывать назад. «А если бы мой последний ход был таким на самом деле?» Пат ходит по-другому, шах и мат! И так продолжается до тех пор, пока Ванна не исчерпает возможные ответы, а Пат не выиграет, или до тех пор, пока он не признает, что мат в четыре хода невозможен. Согласно моему опыту, именно так ведут себя настоящие математики, когда работают вместе над решением исследовательской задачи, и споры разгораются нешуточные. А нарратив нужен, чтобы представить окончательный результат на семинаре.

Ласло Бабаи и другие ученые ввели методы «диалогового» доказательства такого типа в концепцию прозрачного доказательства, использовав при этом такие математические инструменты, как многочлены над конечными полями и корректирующие коды{31}. После отладки этих методов выяснилось, что компьютеры способны использовать одно свойство, которое несовместимо с ясностью и лаконичностью, а именно избыточность. Оказывается, любое логическое доказательство можно переписать таким образом, что оно станет намного длиннее, но при этом и ошибка, если она в нем присутствует, проявится едва ли не всюду. Каждый логический шаг размазывается по всему доказательству в виде многочисленных взаимосвязанных почти идентичных копий. Это немного напоминает принцип голограммы, где изображение преобразуется так, что его можно восстановить по любой небольшой части данных. После этого доказательство можно проверить, взяв из него небольшой случайный образец. Ошибка почти наверняка окажется в нем. Сделайте это, и вы получите прозрачное доказательство. Интересующая нас теорема о невозможности существования приближенных решений класса P – следствие этой процедуры.

* * *

Вернемся к голубиной статье Гибсона, Уилкинсона и Келли в журнале Animal Cognition. Авторы начинают с замечания о том, что в последнее время задача коммивояжера используется для исследования некоторых аспектов когнитивных процессов у людей и животных, в первую очередь способности планировать действия до их осуществления. Однако долгое время было неясно, ограничивается ли эта способность приматами. Могут ли другие животные тоже планировать действия заранее, или они просто следуют жестким правилам, выработанным в процессе эволюции? Исследователи решили использовать голубей в лабораторных испытаниях с двумя или тремя точками-кормушками. Голуби стартуют из одного места, посещают все кормушки в каком-то порядке и улетают к финишу. Исследователи пришли к выводу, что «голуби отдавали предпочтение ближайшей локации, но, судя по всему, планировали на несколько шагов вперед, когда издержки неэффективного поведения очевидно возрастали. Результаты ясно свидетельствуют, что не только приматы способны планировать сложные маршруты передвижения».

В одном из интервью исследователи объяснили связь с голубем, мечтавшим водить автобус. По их мнению, водителя автобуса может беспокоить, что голубь не способен безопасно вести автобус. Еще больше его может беспокоить то, что голубь не сумеет выбрать маршрут, позволяющий подобрать всех пассажиров на остановках города. Судя по заголовку статьи, ученые сделали вывод, что вторая причина для беспокойства не имеет под собой оснований.

Пусть голубь ведет автобус.

* * *

Если правительствам стран мира и автопроизводителям удастся добиться своего, то очень скоро для управления автобусом не нужен будет ни водитель, ни голубь. Автобус будет ездить сам по себе. Мы на всех парах идем в дивную новую эпоху беспилотных транспортных средств.

А может быть, и нет.