Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Задолго до того, как математическое сообщество разобралось наконец с тем, на что замахнулся Фурье, инженеры ухватились за его базовую идею и, по существу, присвоили ее и начали активно использовать. Они поняли, что сутью его работы было то, что ныне называют преобразованием Фурье, при котором сложный сигнал, изменяющийся во времени, может быть интерпретирован как комбинация простых сигналов с различными частотами. Формула интеграла Фурье подсказывает, как перенести точку наблюдения из временно́й области в частотную и обратно – при этом используется почти та же самая формула, что устанавливает «дуализм» между двумя представлениями.

Этот дуализм означает, что преобразование обратимо, то есть можно восстановить первоначальный сигнал по частотам, которые он создает. Это как перевернуть монету с орла на решку, а затем обратно. Полезность этой процедуры для инженерного дела состоит в том, что некоторые свойства, которые трудно обнаружить во временно́й области, становятся очевидными в частотной области. Это может работать и в обратную сторону, так что мы получаем два очень разных метода анализа одних и тех же данных, и каждый из них естественным образом выявляет именно те черты, которые упускает второй.

Например, реакция высотного здания на землетрясение во временной области кажется случайной и хаотичной. Однако в частотной области можно увидеть несколько больших пиков на определенных частотах. Эти пики позволяют выявить резонансные частоты, которые вызывают особенно сильную реакцию здания. Чтобы здание не рухнуло при землетрясении, необходимо подавить эти частоты. На практике здание ставят на массивное бетонное основание, имеющее возможность двигаться из стороны в сторону. Затем это боковое движение «гасится» гигантскими грузами или пружинами.

Еще одно применение преобразования Фурье восходит к открытию структуры ДНК Фрэнсисом Криком и Джеймсом Уотсоном. Ключевым свидетельством, подтвердившим их правоту, тогда стала фотография дифракции рентгеновских лучей на кристалле ДНК. Для получения такого снимка пучок рентгеновских лучей пропускают сквозь кристалл, который заставляет их отклоняться и отражаться, – такое поведение и называют дифракцией. Волны, как правило, собираются в группы под определенными углами, согласно закону дифракции Лоуренса и Уильяма Брэгга, и на снимке появляется сложная геометрическая композиция из множества точек. Дифракционная картина представляет собой, по существу, своего рода преобразование Фурье позиций атомов в молекуле ДНК. Применив обратное преобразование (сложный расчет, реализовать который сегодня намного проще, чем тогда), можно получить форму молекулы. Как я уже сказал, преобразование иногда делает структурные особенности очевидными, хотя разглядеть их в оригинале довольно трудно. В данном случае опыт работы с другими рентгеновскими дифракционными картинами помог Крику и Уотсону сразу же, без вычисления обратного преобразования, понять, что молекула представляет собой спираль. Другие идеи позволили уточнить это представление, что и привело в конечном итоге к открытию знаменитой двойной спирали, существование которой позже удалось подтвердить при помощи преобразования Фурье.

Это всего лишь два случая практического применения преобразования Фурье и его многочисленной родни. В числе других можно назвать улучшение радиоприема, устранение шума, создаваемого царапинами на старых виниловых пластинках, улучшение эффективности и чувствительности гидролокационных систем, используемых подводными лодками, и устранение нежелательных колебаний в автомобилях на стадии их конструирования.

И все это, как вы можете заметить, не имеет никакого отношения к теплопередаче. Непостижимая эффективность. Главное – это не физическая интерпретация задачи, хотя она вполне могла серьезно повлиять на оригинальную работу, а ее математическая структура. Одни и те же методы применяются при решении задач с одинаковой или похожей структурой, и здесь на сцене появляются сканеры.

Математиков тоже заинтересовало преобразование Фурье, и они перевели его на язык функций. В общем случае функция – это математическое правило превращения одного числа в другое, например «возведение в квадрат» или «извлечение кубического корня». Все традиционные функции, такие как многочлены, корни, экспоненты, логарифмы, и тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) включены в это понятие, но могут существовать и более сложные «правила», которые не выражаются формулами, – взять хотя бы прямоугольный импульс, принесший Фурье так много огорчений.