Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Среди них преобразование Радона, на которое он наткнулся в 1917 году. С точки зрения функционального анализа оно – близкий математический родственник преобразования Фурье. Для начала берется изображение на плоскости, которое рассматривается как черно-белая картинка с областями, окрашенными в различные оттенки серого. Любой оттенок может быть представлен действительным числом от 0 (черный) до 1 (белый). Можно сжать изображение в линию в любом направлении, сложив при этом числа, представляющие темные и светлые области и получив проекцию изображения. Преобразование Радона охватывает все эти сжатые проекции во всех направлениях. По-настоящему важная идея – обратное преобразование, позволяющее восстановить первоначальное изображение по этим проекциям.

Насколько я могу судить, Радон изучал свое преобразование из чисто математических соображений. В его статье, посвященной преобразованию, не упоминается какое-либо его практическое применение. Ближе всего к реальной жизни подходит краткое упоминание о связи преобразования с математической физикой, а именно с теорией потенциала, где сходятся электричество, магнетизм и тяготение. Радона, кажется, куда больше интересовала математика и возможные обобщения. В более поздней работе он исследовал трехмерный аналог этого преобразования, в котором распределение светлых и темных областей в пространстве сжимается до плоскости во всех возможных направлениях, и нашел формулу восстановления для этой операции. Позже другие математики отыскали обобщения для более высоких размерностей. Радон мог ориентироваться на рентгеновские лучи, которые порождают именно такого рода проекции органов и костей в человеческом теле: «светлое» и «темное» здесь интерпретируются как разница в прозрачности для рентгеновских лучей. Но потребовалось целое столетие, чтобы его открытие нашло применение в устройствах, способность которых зондировать внутренности человека кажется почти чудесной.

* * *

Аппараты компьютерной томографии (КТ) используют рентгеновские лучи для создания трехмерных изображений внутренностей человека. Эти изображения хранятся в компьютере, ими можно манипулировать, чтобы показывать кости и мышцы или чтобы обнаруживать раковые опухоли. Широко используются и другие типы сканеров, например ультразвуковые. Но как сканер выясняет, что находится внутри нашего тела, не вскрывая его? Мы все знаем, что рентгеновские лучи легко проходят сквозь мягкие ткани, тогда как более плотные ткани, например кости, менее проницаемы для них. Но рентгеновское изображение, полученное с определенного направления, показывает только среднюю плотность тканей на пути луча. Как подобный снимок превратить в трехмерное изображение? Радон начинает свою статью с заявления о том, что ему удалось решить эту проблему:

При интегрировании функции двух переменных x, y – подчиняющейся подходящим условиям регулярности функции от точки f(P) на плоскости – вдоль произвольной прямой g, получаются интегральные значения F(g) – функция от прямой. В части A данной статьи решается задача поиска преобразования, обратного данному линейному функциональному преобразованию, и даются ответы на следующие вопросы: может ли каждая функция от прямой, удовлетворяющая подходящим условиям регулярности, рассматриваться как построенная таким образом? Если да, восстанавливается ли f единственным образом из F и как можно вычислить f?

Ответ – обратное преобразование Радона, то есть формула, восстанавливающая внутреннее распределение тканей (точнее говоря, степени их непроницаемости для рентгеновских лучей) по множеству проекций со всех направлений.

Чтобы понять, как это работает, для начала опишем, что можно увидеть на единственном скане (проекции) тела. Такой скан берется на одном двумерном срезе тела. На картинке схематически изображены параллельные рентгеновские лучи, проходящие через срез тела, содержащий несколько внутренних органов с разной степенью непроницаемости для рентгеновских лучей. Проходя сквозь эти органы, лучи меняют интенсивность. Чем более непроницаем орган, встретившийся на пути луча, тем ниже интенсивность луча на выходе. Мы можем построить график изменения наблюдаемой интенсивности в зависимости от положения луча.