Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Банах и его коллеги сформулировали эти более общие вопросы с точки зрения «операторов». Точно так же, как функция превращает одно число в другое, оператор превращает функцию в число или в другую функцию. Примеры – «взять интеграл» или «продифференцировать». Польские и другие математики обнаружили, что можно взять теоремы о числовых функциях и превратить их в теоремы об операторах функций. Получившееся в результате утверждение может быть истинным, а может и не быть: самое интересное здесь – понять, что, собственно, происходит. Идея получила развитие, потому что довольно скучные теоремы о функциях превращаются в очевидно более глубокие теоремы об операторах, но при этом доказать их зачастую можно теми же простыми методами. Еще один прием состоял в отбрасывании формальных вопросов о том, как интегрировать сложные формулы с синусами, логарифмами и т. п., и в переосмыслении основ. Чем на самом деле занимается математический анализ? Самым фундаментальным вопросом анализа оказалось измерение близости двух чисел. Она определяется разностью между ними в том порядке, который позволяет сделать разность положительной. Функция непрерывна, если маленькая разность между числами на входе дает маленькую разность между числами на выходе. Чтобы найти производную функции, нужно увеличить переменную на маленькую величину и посмотреть, как меняется значение функции в пропорции к этой маленькой величине. Чтобы играть в подобные игры на следующем уровне, с операторами, следует определить, что означает близость между двумя функциями. Сделать это можно множеством способов. Можно посмотреть на разность их значений в любой заданной точке и сделать так, чтобы эта разность была маленькой (во всех точках). Можно сделать интеграл этой разницы маленьким. Каждый вариант ведет нас к иному «функциональному пространству», содержащему все функции с заданными свойствами и снабженному собственной «метрикой» или «нормой». Если вернуться к аналогии между числами и функциями, то функциональное пространство играет роль множества действительных или комплексных чисел, а оператор – это правило преобразования функции из одного функционального пространства в функцию из другого функционального пространства. Преобразование Фурье – особенно важный пример оператора, преобразующего функцию в последовательность коэффициентов Фурье. Обратное действие преобразует последовательности чисел в функции.

С этой точки зрения большие фрагменты классического анализа внезапно становятся частью единой картины как примеры функционального анализа. Функции одной или нескольких действительных или комплексных переменных можно рассматривать как довольно простые операторы на довольно простых пространствах – на множестве действительных чисел, множестве комплексных чисел или векторных пространствах конечной размерности, образованных последовательностями таких чисел. Функция трех переменных – это всего лишь функция, или оператор, определенная на пространстве всех троек действительных чисел. Более заумные операторы, такие как «проинтегрировать», определены на (скажем) пространстве всех непрерывных функций, переводящих трехмерное пространство в пространство действительных чисел, с метрикой «интегрировать квадрат разности значений двух функций, о которых идет речь». Основное различие здесь в пространствах: пространство действительных чисел и трехмерное пространство имеют конечную размерность, а размерность пространства всех непрерывных функций бесконечна. Функциональный анализ во всем похож на обычный математический анализ, но применяемый к пространству бесконечной размерности.

Еще одна крупная инновация того периода тоже аккуратно встала на свое место в этой картине: это новая, более общая и более гибкая теория интегрирования, предложенная Анри Лебегом под названием «теория меры». Мера – это величина вроде площади или объема, позволяющая присвоить число множеству точек в пространстве. Интересная особенность здесь в том, что это множество может быть чрезвычайно сложным, хотя некоторые множества настолько сложны, что даже концепция меры Лебега к ним неприменима.

Вариационное исчисление, тема диссертации Радона, буквально «кричит» об операторах, как только мы видим, что речь в нем идет о поиске функций (не чисел) с оптимальными свойствами. Так что для Радона отход от классического вариационного исчисления и погружение в функциональный анализ были вполне естественным шагом. Это привело его к большому успеху – несколько важных идей и теорем в теории меры и функциональном анализе названы в его честь.