Фейнмановские лекции по гравитации

Используя выражение метрики (12.2.3), мы должны были бы иметь возможность сделать некоторые предсказания относительно наблюдаемых величин на языке функции R(t). Может быть тогда возможно будет построить модель вселенной, в которой точно определяется функция R(t). Например, стационарная вселенная Хойла соответствует такой функции R(t), которая экспоненциально зависит от времени. Вселенная Милна соответствует такой функции R(t), которая попросту пропорциональна времени t.

Рис. 12.1.

Давайте кратко рассмотрим некоторые свойства вселенной Милна для того, чтобы только понять, что вселенная выглядит одинаково в соответствующие моменты времени с точки зрения наблюдателя, расположенного в различных местах пространства. Мы говорили, что такая модель соответствует нулевой гравитации. Например, возможно переопределить координаты таким образом, чтобы получившаяся в результате метрика была плоской. Тем не менее, когда мы переписали метрику, оказалось, что наша трёхмерная поверхность имеет кривизну. Мы можем понять источник этой кривизны, рассматривая множество часов с идентичными маятниками, которые расходятся с разными скоростями от заданного начала координат в заданный момент времени t=0. Если мы рассмотрим диаграмму Минковского, мировые линии различных часов представляют временные оси различных координатных систем. Таким образом, поверхности равных моментов времени искривляются (см. рис. 12.1). Трёхмерная поверхность ”при заданном времени” соответствует подобной гиперболической поверхности и, следовательно, имеет некоторую кривизну. Тем не менее, четырёхмерное пространство точно такое же плоское, как и было ранее.

Более близкая операционистская точка зрения на такую кривизну касается измерения радиуса и длины окружности. Если мы измеряем их в подпространстве ”сейчас”, то найдём, что длина окружности равна 2R. Измерения при постоянном значении t соответствуют измерениям, проведённым так, как если бы локальная галактика, убегающая наружу со скоростью, пропорциональной расстоянию, находилась в покое. Таким образом, радиус измеряется стержнями, движущимися вдоль своей длины. Длина окружности измеряется стержнями, движущимися перпендикулярно своей длине, отсюда это наблюдение эффективной кривизны.

Теперь, когда мы прояснили значение трёхмерных поверхностей при постоянном значении t, давайте посмотрим, что мы можем вывести, что связано с астрономическими наблюдениями. Например, давайте выведем детектируемое изменение в видимой частоте сигнала, который испускается где-нибудь в другом месте, причём это изменение выразим через функцию R(t). Мы должны спросить, какой интервал соответствует времени приёма, если мы точно определили время испускания сигнала и координату r. Траектория светового сигнала задаётся следующим соотношением (ds)^2=0. Если свет движется вдоль радиуса, мы имеем

(ds)^2

=

0

=

(dt)^2

-

R^2(t)

(1+kr^2/4)^2

(dr)^2

,

из которого следует, что

dt

R(t)

=

dr

(1+kr^2/4)

.

(12.3.1)

Если мы обсуждаем часы при постоянном значении координаты r, тогда dt есть интервал собственного времени; число тиканий часов есть попросту dt. Для того, чтобы сравнить частоты, мы должны вычислить отношение продолжительности времени испускания сигнала ко времени его приёма. Если мы посылаем сигнал, причём начинаем посылать сигнал в момент времени t и заканчиваем в момент времени t+t, то начало приёма сигнала соответствует времени t и его приём заканчивается в момент времени t+t. Интегрируя вдоль световой траектории, определяемой соотношением (12.3.1), от начальной точки испускания до начальной точки приёма, получаем

t

t

dt'

R(t')

=

r

0

dr

1+kr^2/4

=

t+t

t+t

dt'

R(t')

,

(12.3.2)

поскольку координата r есть постоянная величина для заданной галактики. Какова бы ни была длина интервала t-t, если обе величины t и t малы сравнительно с изменениями функции R(t), то из уравнения (12.3.2) следует, что

t

R(t)

=

t

R(t)

.

(12.3.3)

Таким образом, сравнение частот определяется функцией R(t) полученный результат определяется соотношением:

_приёма

=

R(t)

R(t)

·

w, w

=

естественная частота.

(12.3.4)

Очевидно, что функция R(t) - масштабный фактор для вселенной. Если R(t) есть монотонно возрастающая зависимость от t, что соответствует расширяющейся вселенной, то все принимаемые частоты имеют красное смещение. Величина этого смещения будет приблизительно пропорциональна (t-t), если этот интервал мал по сравнению с интервалом, на котором происходит изменение функции R(t).

Перед тем, как мы сможем связать это красное смещение с хаббловским красным смещением, мы должны придумать схему для задания расстояний, соответствующих различным значениям координаты r.

12.4. Измерения космологических расстояний

Давайте представим себе, что мы пытаемся определить расстояние до удалённой галактики, рассматривая её видимый угловой диаметр. Предположим, что галактика имеет диаметр L; тогда, если мы наблюдаем угловую протяжённость , расстояние до галактики D должно задаваться следующим соотношением

·

D

=

L

,

т.е.,

D

=

L

.

(12.4.1)