Фейнмановские лекции по гравитации

В этом соотношении величина p есть усреднённое давление. Оно включает в себя все давления, обычное газовое давление, давление излучения и любое другое давление, обусловленное каким бы то ни было другим процессом. Для нашего обсуждения мы будем предполагать, что газовое давление настолько много больше любого другого давления, что всеми другими видами давления можно будет пренебречь. Но это давление является очень маленьким, поскольку оно по порядку величины (pv^2)/2 где (v/c) - средняя скорость газа, которая является совершенно малой величиной и мы будем предполагать, что оно не играет роли при определении динамики вселенной. Мы получаем описание динамики прямо из плотности , требуя, чтобы тензор T удовлетворял условию равенства нулю дивергенции. В результате получаем следующее соотношение между p и

d

dt

(R^3)

=-

3pR^2

dR

dt

.

(12.5.3)

Это уравнение и есть как раз T_4;=0. Другая независимая ковариантная дивергенция T_1;=0 даёт p_,r, то есть то, что и ожидалось, так как вселенная - изотропна. Этот результат имеет очень простую структуру и он имеет очевидное классическое значение, если мы называем R радиусом вселенной. Величина R^3 пропорциональна полной массе, которая есть содержание энергии в однородном шаре с радиусом R. Член, стоящий в правой части уравнения (12.5.3), определяет скорость совершения работы, так как он представляет собой давление, умноженное на объём. Это уравнение имеет точно такую же структуру, если вместо целой вселенной мы возьмём меньшую область, радиус которой равен величине a, пропорциональной R. В этом случае

d

dt

(a^3)

=-

3pa^2

da

dt

.

(12.5.4)

Если p=0, то количество вещества внутри сферы не меняется;

4

3

R^3

=

M

(12.5.5)

есть постоянная величина. Мы можем решить эти уравнения для того, чтобы получить

(k+R^2)

=

2G

M

R

.

(12.5.6)

Рис. 12.2.

Это дифференциальное уравнение может быть решено для того, чтобы найти функцию R(t). Поведение возможных решений легко понять, оставаясь всё ещё в пределах ньютоновской механики. То, что может происходить, могло бы быть легко рассмотрено на языке того, что может происходить с оболочкой толщины da вне сферически симметричного распределения m (см. рис. 12.2). Может быть рассмотрено, каким образом происходит свободное падение в поле массы, находящейся внутри, которая есть постоянная величина, и это движение описывается уравнением свободного падения тела. Закон сохранения энергии говорил бы нам в ньютоновской механике, что

-

Gm

a

+

a^2

2

=

постоянная

=

Энергия/Масса.

(12.5.7)

В зависимости от величины этой энергии, возможны три типа решений.

Если энергия положительна, то оболочка продолжает расширение вечно и сохраняет расширение бесконечное время.

Если энергия равна нулю, то оболочка расширяется асимптотически к статической вселенной бесконечного разжижения.

Если энергия отрицательна, то движение ограничено и циклично.

Эти решения ньютоновской задачи соответствуют возможным типам вселенной; 1) соответствует открытой вселенной с отрицательной кривизной; 3) соответствует замкнутой вселенной с положительной кривизной.

Почему эти ньютоновские решения оказались достаточно хорошими для того, чтобы охарактеризовать ответы на наши вопросы? Это происходит потому, что в сферически симметричной задаче движение конечной оболочки вещества определяется только массой, находящейся внутри. Масса, находящаяся вне, образует внутри пространство, эквивалентное плоскому. Таким образом, рассматривая движение конечной оболочки, мы получаем описание поведения всей вселенной. Здесь мы снова видим мощь предположения о космологической однородности.

Лекция 13

13.1 О роли плотности вселенной в космологии

Теперь мы увидели, как постулат об однородности приводит к различным возможностям вселенной, которая может быть как открытой, так и закрытой. Мы видим, что один из наиболее интересных космологических вопросов состоит в том, является ли наша вселенная неограниченной и расширяющейся вечно или она ограничена. Мы рассчитываем ответить на этот вопрос на основе наблюдений. Какие же есть факторы, относящиеся к этой проблеме? Центральный вопрос есть следующий: являются ли скорости галактик достаточно большими, чтобы они неограниченно разбегались, или эти скорости настолько малы, что движение финитное? Давайте сделаем некоторые оценки на основе ньютоновской механики, которые достаточно близки к релятивистским оценкам для нашей задачи. Если радиальная скорость оболочки с радиусом r пропорциональна величине r, достаточно ли кинетической энергии для неограниченного разбегания? Из-за сферической симметрии мы, при выписывании закона сохранения энергии, рассматриваем только массу, находящуюся внутри оболочки. Если мы предполагаем однородную плотность во вселенной, то критическое значение для чисто финитной и чисто инфинитной вселенной есть условие, что

1

2

v^2

GM

r

, где

M

=

4

3

r^3

.

(13.1.1)