Feynmann 6a

Однако эта важная проблема не была решена таким методом. Дело в том, что величина электрического поля, которое при этом развивается,— порядка нескольких милливольт на метр. Измерить такие поля, конечно, можно, но вся беда в том, что они ничем не отличаются от любых других электрических полей. Поля, создаваемые движением через магнитное поле, нельзя отличить от электрических полей, возникающих в воздухе по каким-то другим причинам (скажем, от электростатических зарядов в воздухе или на облаках). В гл. 9 мы говорили, что обычно над поверхностью Земли существуют электрические поля с напряженностью около 100 в/м, но они совершенно нере­гулярные. Так что самолет во время полета будет наблюдать флуктуации атмосферных электрических полей, которые огром­ны по сравнению со слабенькими полями, возникающими из-за множителя vXB. Ввиду этих чисто практических причин изме­рить скорость самолета, используя его движение в магнитном поле Земли, невозможно.

§ 4. Уравнения движения в релятивистских обозначениях

Полученные из уравнений Максвелла электрические и маг­нитные поля сами по себе не представляют особой ценности, если мы не знаем, что эти поля могут делать, на что они способны.

Вы, вероятно, помните, что поля нужны для нахождения действующих на заряды сил и что именно эти силы определяют их движение. Так что связь движения зарядов с силами, разу­меется, тоже есть часть электродинамики.

На отдельный заряд, находящийся в полях Е и В, действует

(26.23)

При небольших скоростях эта сила равна произведению массы на ускорение, но истинный закон, справедливый при любых скоростях, гласит: сила равна dp/dt. Подставляя p=m₀v/Ц(1-v²/c²), находим релятивистское уравнение движения заряда:

(26.24)

Теперь мы хотим обсудить это уравнение с точки зрения тео­рии относительности. Поскольку уравнения Максвелла запи­саны у нас в релятивистской форме, интересно посмотреть, как в релятивистской же форме выглядят уравнения движения. Посмотрим, можно ли переписать уравнения движения в четы­рехмерных обозначениях.

Мы знаем, что импульс есть часть четырехмерного вектора p_m с энергией m₀/Ц(1-v²/с²) в качестве временной компоненты, так что мы надеемся заменить левую часть уравнения (26.24) на dp_m/dt. Теперь нам нужно найти только четвертую компоненту силы F. Эта компонента должна быть равна скорости изменения энергии или скорости совершения работы, т. е. F·v. Так что правую часть уравнения (26.24) желательно было бы записать в виде четырехвектора типа (F·v, F_x, F_y , F_z), Однако эти вели­чины не составляют четырехвектора.

Производная четырехвектора по времени не будет больше четырехвектором, так как d/dt требует для измерения t неко­торой специальной системы отсчета. С этой трудностью мы уже сталкивались раньше, когда пытались сделать четырехвектор из скорости v. Тогда мы попытались считать, что роль временной компоненты скорости играет cdt/dt=c. Но на самом деле величины

(26.25)

не образуют четырехвектора. После этого мы обнаружили, что их можно превратить в компоненты четырехвектора, если помножить каждую на 1

/Ц(1-v²/с²). «Четырехмерной ско­ростью» u_m оказался вектор

(26.26)

Вот в чем фокус! Нужно умножать производную d/dt на 1/Ц(1-v²/с²), если мы хотим превратить ее компоненту в четырехвектор.

Итак, вторая гипотеза: четырехвектором должна быть ве­личина

(26.27)

Но что такое v? Это уже скорость частицы, а не скорость системы координат! Таким образом, обобщением силы на четырехмерное пространство будет величина f_m:

(26.28)

которую мы назовем «4-силой». Она уже четырехвектор, и ее пространственными компонентами будут уже не F, а

F/Ц(1-v²/c²).

Почему же f_m четырехвектор? Неплохо бы понять, что это за таинственный множитель 1/Ц(1-v²/с²). Так как мы встре­чаемся с ним уже второй раз, то самое время посмотреть, почему производная d/dt всегда должна входить с одним и тем же

множителем. Ответ заключается вот в чем. Когда мы берем производную по времени некоторой функции х, то подсчитываем приращение Dх за малый интервал Dt переменной t. Но в другой