Физика пространства - времени

=

𝑥

-

𝑣

_𝑟

 𝑡

_сек

.

Формулы (57) и (59) практически совпадают — разница состоит лишь в выборе единиц измерения времени. Заметим, что

β

_𝑟

 𝑡

=

𝑣_𝑟

𝑐

𝑡

=

𝑣

_𝑟

𝑡

𝑐

=

𝑣

_𝑟

 𝑡

_сек

.

Подставляя это равенство, приведём формулу (57) к виду (59). Однако формулы (58) и (60) нельзя привести к одному и тому же виду одной лишь заменой единиц измерения! Запишите формулу (58) так, чтобы в неё входили 𝑣_𝑟 и 𝑡_сек. Для этого достаточно разделить обе её стороны на 𝑐 и учесть, что 𝑡/𝑐=𝑡_сек :

𝑡

_сек

'

=-

𝑣_𝑟

𝑐

⋅

𝑥

𝑐

+

𝑡

_сек

=

𝑡

_сек

-

𝑥

𝑣_𝑟

𝑐²

.

(58')

Формула (58') отличается от формулы (60) в тексте членом 𝑥𝑣_𝑟/𝑐², которым можно в большинстве случаев пренебречь, так как обычно скорость 𝑣_𝑟 намного меньше, чем скорость света 𝑐. Пример. Наибольшая скорость, с которой летал человек, достигается на искусственных спутниках Земли и примерно равна 30 000 км/час или 8000 м/сек. Наибольшее расстояние между космонавтом в спутнике и наблюдателем на Земле имеет место, когда наблюдатель находится на стороне Земли, противоположной положению спутника в этот момент. Тогда расстояние между ними примерно равно диаметру Земли — около 13⋅10⁶ м. Таким образом, наибольшее значение члена 𝑥𝑣_𝑟/𝑐², достигнутое до сих пор с участием наблюдателей, равно

(13⋅10⁶

м

)

(8⋅10³ м/сек)

(3⋅10⁸ м/сек)²

=

10⁻⁶

сек

.

Конечно, такой интервал времени доступен измерению современными средствами, но его едва ли понадобится измерять в ходе анализа экспериментов на спутниках хотя бы уже потому, что космонавт обычно поддерживает связь с наземным наблюдателем на обращённой к нему стороне планеты! ¹)

¹) После выхода в свет американских изданий книги Тейлора и Уилера и их сборника решений к упражнениям соотечественники авторов уже успели побывать на Луне. Взяв с форзаца книги величину расстояния от Земли до Луны и учтя, что первая космическая скорость на Луне составляет всего около 1700 м/сек, читатель найдёт, что член 𝑥𝑣_𝑟/𝑐 в формуле (58') и в данном случае остаётся меньше 10⁻⁵ сек, когда астронавты кружат по окололунной орбите. Первую космическую скорость для Луны можно получить, приравняв друг другу центростремительную силу лунного притяжения и центробежную силу, действующую при движении по круговой орбите:

𝑣²

𝑅 = 𝐺

𝑀

𝑅²

(здесь уже произведено сокращение на величину массы космического корабля); в качестве 𝑅 следует положить величину радиуса Луны, 𝑅=1740 км=1,74⋅10⁶ м; масса Луны равна 𝑀=7,3⋅10²² кг. Конечно, наибольшей скорости космический корабль достигает на обратном пути к Земле, при вхождении в её атмосферу, но тогда слишком мала величина 𝑥. — Прим. перев. ▲

39. Пределы применимости преобразования Галилея

Найдём из табл. 8 приближённые выражения функций sh θ и ch θ с точностью до членов второго порядка:

sh θ

≈

θ

,

ch θ

≈

1

+

θ

2

(в первом случае поправка второго порядка просто равна нулю!). Вид формул (37) с точностью до членов второго порядка малости можно получить, имея в виду, что даже в этом приближении θ_𝑟≈β_𝑟. Тогда в этом втором приближении будем иметь

𝑥'

=

𝑥

⎛

⎜

⎝

1

+

β_𝑟²

2

⎞

⎟

⎠

-

β

_𝑟



𝑟

,

𝑡'

=-

β

_𝑟



𝑟

+

𝑡

⎛

⎜

⎝

1

+

β_𝑟²

2

⎞

⎟

⎠

.

Коэффициенты, входящие в эти уравнения, отличаются от коэффициентов в формулах (57) и (58) менее чем на 1%, если принять

β_𝑟²

2

<

10⁻²

или

β

_𝑟

²

<

1

50

,

откуда приближённо получим

β

_𝑟

<

1

7

,

что и требовалось получить.

При старте с места гоночный автомобиль развивает ускорение 𝑎=𝑣/𝑡=4 м/сек². Если поддерживать такое ускорение постоянным, то скорости 𝑣=(1/7)⋅3⋅10⁸ м/сек можно достигнуть за срок примерно в 𝑡=𝑣/𝑎=10⁷ сек, т.е. около 4 месяцев. Даже с ускорением 7𝑔≈70 м/сек² для достижения этой скорости потребовалось бы около недели! ▲

40. Столкновения в теории Ньютона и в теории относительности

В системе отсчёта ракеты частицы после столкновения разлетаются вдоль оси 𝑦 со скоростями ±β_𝑟. В упражнении 20 было показано [формула (49)], что 𝑥- и 𝑦- компоненты скоростей этих частиц в лабораторной системе отсчёта будут равны



β

^𝑥

=

th



θ

_𝑟

=

β

_𝑟

,



β

^𝑦

=

β^𝑦'

ch θ_𝑟

=±

β_𝑟

ch θ_𝑟

.

Тангенс угла 𝑎/2, образованного осью 𝑥 и любым из этих двух векторов скорости в лабораторной системе отсчёта (см. рис. 53), даётся формулой

tg

α

2

=

β^𝑦

β^𝑥

=

1

ch θ_𝑟

=

√

1-β

_𝑟

²

.

Рис. 147.

Требуется найти величину малого угла δ/2 (рис. 147), который составляет разность между π/4 радиан и α/2, откуда получается сам угол δ как отклонение полного угла α, образованного векторами скорости в лабораторной системе отсчёта, от прямого, т.е. от π/2=90°. Из формулы 13 в табл. 8 найдём

tg

π

-

tg

α

tg

δ

=

tg

⎛

⎜

⎝

π

-

α

⎞

⎟

⎠

=

4

2

.

2

4

2

1

+

tg

π

⋅

tg

α

4

2

Воспользовавшись полученным выше выражением для tg α/2 и приняв во внимание, что tg π/4=1, а также что для малых δ справедливо приближённое равенство tg δ/2≈δ/2, мы придём к формуле

δ

2

=

1-√1-β_𝑟²

1+√1-β_𝑟²

≈

1-(1-β_𝑟²/2)

1-(1-β_𝑟²/2)

=

β_𝑟²/2

2-β_𝑟²/2

≈

β_𝑟²

4

;

δ

=

β_𝑟²

2

,

где выражение √1-β_𝑟² было подвергнуто разложению по правилу бинома Ньютона, в котором мы оставили лишь два первых слагаемых. От нас требовалось выяснить, при каких β_𝑟 угол δ не превышает 10⁻² рад. Очевидно, это условие принимает вид

β