Физика пространства - времени

Решение этого упражнения основывается на относительности одновременности (см. упражнение 11). В лабораторной системе отсчёта все точки стержня пересекают ось 𝑥 одновременно при 𝑡=0. Но картина, наблюдаемая в системе отсчёта ракеты, будет другой! Когда в лабораторной системе 𝑡=0, часы системы отсчёта ракеты будут показывать на положительной части оси 𝑥' моменты времени, меньшие нуля [часть в) упражнения 11]. Это значит, что к моменту 𝑡'=0 по часам системы отсчёта ракеты правый конец стержня уже пересечёт ось 𝑥. Но середина стержня проходит через начало координат ракеты в момент 𝑡'=0, так что в системе отсчёта ракеты метровый стержень будет наблюдаться несколько повёрнутым правым концом вверх (см. рис. 77б). Перейдём к количественному выражению эффекта. В лабораторной системе отсчёта правый конец стержня пересекает ось 𝑥 в момент 𝑡=0 и в точке 𝑥=1/2 м. Координаты того же события в системе отсчёта ракеты следуют из формул преобразования Лоренца:

𝑥'

=

𝑥 ch θ

_𝑟

=

1

2

ch θ

_𝑟

м

,

𝑡'

=-

𝑥 sh θ

_𝑟

=-

1

2

sh θ

_𝑟

м

.

Требуется найти положение правого конца стержня не в отрицательный момент времени 𝑡'=-𝑥 sh θ_𝑟, а в момент 𝑡'=0, т.е. на 𝑥 sh θ_𝑟=½⋅sh θ_𝑟 м светового времени позже. Какое положение по истечении этого срока займёт правый конец стержня? Значения компонент скорости конца метрового стержня можно определить по формуле, полученной в упражнении 20 [формула (49), в которой следует поменять местами штрихованную и нештрихованную скорости и изменить знак параметра скорости на обратный]:

β

^𝑦'

=

β^𝑦

ch θ_𝑟

,

β

^𝑥'

=-

th θ

_𝑟

.

Тогда в момент 𝑡'=0 правый конец метрового стержня окажется в точке с координатами

𝑦'

=

β

^𝑦'

𝑡'

=

β^𝑦

ch θ_𝑟

1

2

sh θ

_𝑟

м

=

1

2

β

^𝑦

 th θ

_𝑟

м

и

𝑥'

=

1

2

ch θ

_𝑟

-

th θ

_𝑟

ch θ_𝑟

2

=

1

2

⎛

⎜

⎝

ch θ

_𝑟

-

sh²θ_𝑟

ch θ_𝑟

⎞

⎟

⎠

=

1

2 ch θ_𝑟

.

В тот же момент (𝑡'=0) середина метрового стержня совмещается с началом координат системы отсчёта ракеты. Поэтому угол φ, образованный стержнем и осью 𝑥 системы отсчёта ракеты, определяется выражением

tg φ

=

𝑦'

𝑥'

β

^𝑦

 sh θ

_𝑟

.

▲

53. Парадокс метрового стержня

Соударения не произойдёт. Конечно, в системе отсчёта ракеты стержень не подвергается лоренцеву сокращению, но ведь там движущаяся вверх пластинка наклонена — её правый край приподнят. В сущности можно рассматривать рис. 77 как изображение отверстия в пластинке! Правый край этого отверстия вплотную проскальзывает перед самым «носом» горизонтального метрового стержня, а левый край отверстия — сразу вслед за «хвостом» метрового стержня. Так метровый стержень при всей своей стандартной длине точь-в-точь «помещается» в подвергнувшемся сокращению отверстии, повёрнутом под углом. ▲

54. Тонкий человек на решётке

Вот ключ к решению этого упражнения. На свете не существует таких вещей, как «жёсткий» метровый стержень или «жёсткий» мост. Пусть длинный мост имеет опоры только на своих концах. Быстро уберём из-под него правую опору, и правый конец моста сразу же начнёт падать. Но середина моста ещё не начнёт! Ведь она не «знает» ещё об исчезновении правой опоры. Стоящий посередине моста человек ощущает под своими ногами его металл таким же устойчивым, как прежде. Падение начнётся здесь с определённым опозданием, и время задержки определяется сроком, за который упругое колебание проходит через металл от правого конца моста до места, где стоит человек. Аналогично обстоит дело и с метровым стержнем. Конечно, его жёсткость можно повысить, делая его из улучшенных материалов,— при этом увеличится скорость распространения в нем упругих колебаний, так что сократится время задержки, после которого середина стержня начнёт падать. Но возможности улучшения материала стержня не беспредельны: скорость распространения упругих волн никогда не может превысить скорости света. Время задержки не может стать меньше времени распространения света.

Вера в существование абсолютно жёстких предметов — вредное заблуждение, и отказ от него позволяет разобраться, например, в такой, казалось бы, парадоксальной ситуации. Пусть метровый стержень сначала покоится, лёжа на узкой полке в ракете, а затем полка резко откидывается вниз и стержень начинает падать с ускорением силы тяжести. В системе ракеты стержень падает «синхронно» на всём своём протяжении, но в лабораторной системе это будет не так: там ракета мчится вправо — параллельно ориентации полки — с огромной скоростью. Поэтому в лабораторной системе отсчёта сначала начинает падать правый конец метрового стержня, когда левый его конец всё ещё продолжает лежать на полке. В этой системе наблюдается, что стержень искривлён (и он искривлён там на самом деле), что, конечно, не противоречит релятивистски сформулированному понятию «жёсткости»! Итак, стержень может быть прямым в одной системе отсчёта и искривлённым — в другой.