Физика пространства - времени

_𝑟

²

<

1

50

или

β



_𝑟

<

1

7

.

Когда симметричные относительно друг друга скорости сталкивающихся и разлетающихся частиц в системе отсчёта ракеты будут меньше этой величины, угол между векторами скорости разлетающихся частиц в лабораторной системе будет отличаться от прямого менее чем на 10⁻² рад. В лабораторной системе отсчёта, где одна из частиц первоначально покоилась, скорость налетающей частицы поэтому должна быть меньше, чем 2β_𝑟<2/7. ▲

41. Примеры предельных переходов к механике Ньютона

Пример

движения

β

Корректно ли в этом примере

использование механики Ньютона

?

См. в тексте

(стр.

118

)

1/37200

Да, потому что

β<1/7

10⁻⁴

Да

1/137

Да

79/137

Нет

4/30

Да, на пределе

10

⁻²

Да

▲

42. Замедление времени для μ-мезона — подробный пример

Решение дано в тексте.

43. Замедление времени для π⁺-мезона

Если бы замедления времени не происходило, то из условий задачи следовало бы, что на расстоянии 5,4 м от мишени оставалась бы нераспавшейся половина мезонов. В упражнении 10 [см. формулу (44)] было выяснено, что множитель, характеризующий замедление времени, — это ch θ_𝑟. Следовательно, с точки зрения лабораторной системы отсчёта в рассматриваемом опыте π-мезоны будут «жить» в течение срока, в 15 раз превышающего их «собственное время жизни»— то, которое наблюдается в системе отсчёта ракеты, где они покоятся. В лаборатории те же мезоны летят с околосветовыми скоростями, и поэтому они смогут пролететь около 15 «характерных расстояний» (см. таблицу в тексте), т.е. приблизительно 80 м, прежде чем их количество в пучке вследствие распада снизится вдвое по сравнению с первоначальным. ▲

44. Аберрация света звёзд

Ориентируем ось 𝑥 в направлении относительного движения. В покоящейся по отношению к Солнцу лабораторной системе отсчёта свет, приходящий от далёких звёзд 𝐵 и 𝐷, будет иметь компоненты скорости β^𝑦=±1 и β^𝑥=0. В системе отсчёта ракеты (Земли) скорость распространения этого света также равна единице, но теперь 𝑥-компонента его скорости будет равна -β_𝑟, т.е. относительной скорости движения двух рассматриваемых систем отсчёта мимо друг друга. Синус угла φ равняется 𝑥-компоненте скорости, разделённой на абсолютную величину скорости:

sin φ

=

β_𝑟

1

=

β

_𝑟

.

Этот вывод находится в согласии с результатами, полученными в упражнении 22. ▲

45. Опыт Физо

Закон сложения скоростей (24) даёт

β

=(

β'

+

β

_𝑟

)(

1

+

β'β

_𝑟

)⁻¹

.

При малых β_𝑟 это выражение можно разложить по формуле бинома Ньютона, ограничиваясь лишь членами первой степени по β_𝑟:

(

1

+

β'β

_𝑟

)⁻¹

≈

1

-

β'β

_𝑟

.

Используя это разложение в предыдущей формуле и вновь отбрасывая в окончательном результате члены, в которых β_𝑟 возводится в степень выше первой, получим требуемый ответ — формулу (62). ▲

46. Черенковское излучение

Формула (63) непосредственно следует из построения на рис. 62. Чтобы испускать черенковское излучение в некоторой среде, частица должна в ней двигаться по крайней мере не медленнее, чем распространяется световой импульс в этой среде. Это видно из формулы (63): косинус угла φ никак не может быть больше единицы. Поэтому в люсите частица, для того чтобы давать черенковское излучение, должна двигаться по крайней мере со скоростью, равной 2/3 скорости света в пустоте. С другой стороны, угол φ в данном веществе будет максимален, когда его косинус имеет наименьшее значение, т.е. при наибольшем значении скорости частиц β. Ясно, что β не может превышать единицу, так что в люсите величина косинуса φ, равная 2/(3β) всегда больше или равна 2/3. Соответствующий этому максимальный угол составляет 0,841 рад, или 48°,2. ▲

47. Искривление лучей света звёзд Солнцем

Путь, равный диаметру Солнца, световой сигнал проходит за время, равное 1,4⋅10⁹ м, или 4,7 сек; это и есть «эффективное время падения» светового луча, проходящего вплотную к поверхности Солнца. Полная скорость падения равна этому времени, умноженному на ускорение силы тяжести у поверхности Солнца (275 м/сек²), так что составляет приблизительно 1300 м/сек, или 4,3⋅10⁻⁶ м пути за 1 м светового времени. Угол отклонения луча, если он малый, можно приблизительно определить как отношение полученной скорости падения к полной скорости света, т.е. к единице. Итак, мы предсказали, что угол, на который отклоняется световой луч, равен 4,3⋅10⁻⁶ рад. Общая теория относительности предсказывает вдвое больший эффект, что хорошо согласуется с данными наблюдений, приведёнными в конце упражнения. ▲

48. Геометрическое истолкование