Физика пространства - времени

Нам ясна теперь сущность этого кажущегося парадокса, и мы знаем, что метровый стержень упадёт в отверстие. В лабораторной системе отсчёта этот вывод напрашивался сам собой: метровый стержень там был укорочен до длины, много меньшей метра, и ему ничего не стоило провалиться в отверстие. В системе отсчёта ракеты, напротив, отверстие сократилось до размеров, намного меньших метра, тогда как метровый стержень приобрёл свою полную длину. При этом, однако, мы должны были признать, что метровый стержень не был — и не мог быть в принципе — абсолютно жёстким, его правый конец выгнулся вниз, этот конец погрузился в отверстие, а за ним туда нырнул и весь стержень. ▲

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛ. 2

55. Быстрые электроны

а) Энергия, приобретаемая на 1 м пути, равна

40⋅10³ Мэв

3⋅10³ м

≃

13

Мэв

/

м

.

Если бы выполнялись законы механики Ньютона, то энергия электрона, движущегося со скоростью света, была бы равна

1

2

𝑚𝑐²

=

1

2

(0,511

Мэв

)

≈

1

4

Мэв

(по Ньютону)

,

и эта энергия была бы достигнута на дистанции

1/4 Мэв

13 Мэв/м

=

1

52

м

≈

2

см

!

б) Согласно формуле (107), полученной во введении к этим упражнениям,

1-β

≈

𝑚²

2𝐸²

,

если

β

≈

1

.

Здесь величины 𝑚 и 𝐸 выражены в одних и тех же единицах. Так как нас интересует их отношение, то выбор единиц (если они одинаковы для обеих величин!) не играет роли. Тогда, используя единицы Мэв, получим

1-β

≈

(1/2 Мэв)²

2⋅(4⋅10⁴ Мэв)²

≈

1

128

⋅

10⁻⁸

<

10⁻¹⁰

.

Скорость этих электронов отличается от скорости света менее чем на десятимиллиардную часть последней. При состязании на скорость полёта между такими электронами и световой вспышкой на дистанции 1000 км=10⁹ мм свет опередит электроны всего лишь на

(1-β) 10⁹

мм

<

10⁻¹⁰⋅10⁹

мм

=

0,1

мм

.

в) Множитель, характеризующий лоренцево сокращение, равен при этом

1

ch θ

=

𝑚

𝐸

=

0,5 Мэв

40⋅10³ Мэв

=

1,2⋅10⁻⁵

,

так что сократившаяся длина «3000-метровой» трубы при измерении в системе отсчёта ракеты составляет всего

(3⋅10³

м

)⋅1,2⋅10⁻⁵

≈

4⋅10⁻²

м

=

4

см

.

▲

56. Космические лучи

а) Коэффициент, характеризующий замедление времени, определяется формулой (44) из упражнения 10, так что

Δ

𝑡'

=

Δ𝑡

ch θ_𝑟

=

Δ

𝑡

𝑚

𝐸

=

Δ

𝑡

⋅

10⁹ эв

10²⁰ эв

,

так что для интервала времени, равного

Δ

𝑡

≈

(10⁵

лет

)

(3⋅10⁷

сек

/

год

)

,

найдём

Δ

𝑡'

=

10⁵⋅3⋅10⁷⋅10⁻¹¹

сек

=

30

сек

.

Пока за свои 30 сек космический путешественник успевает пересечь Галактику, на Земле проходит сто тысячелетий!

б) Коэффициент, характеризующий лоренцево сокращение Галактики, определяется по формуле (38) из упражнения 9 и равен

10⁵ св. лет

10⁻¹⁵ м

=

(10⁵ лет)(3⋅10⁷ сек/год)(3⋅10⁸ м/сек)

10⁻¹⁵ м

=

=

9⋅10²⁰ м

10⁻¹⁵ м

≈

10³⁶

=

ch

 

θ

_𝑟

=

𝑚

𝐸

.

Чтобы протон приобрёл необходимую скорость, ему необходимо придать энергию, равную в единицах массы

𝑇

=

𝐸

-

𝑚

=

10³⁶𝑚

-

𝑚

≈

10³⁶𝑚

≈

≈

10³⁶𝑚

⋅

10³⁶⋅10⁻²⁷

кг

≈

10⁹

кг

,

иначе говоря, потребуется превратить в энергию около одного миллиона тонн массы, чтобы разогнать этот протон! ▲

57. Границы ньютоновской механики

а) Ответ также указан в конце книги!

б) Согласно формуле без номера, находящейся на стр. 155 между формулами (81) и (82), из разложения бинома Ньютона следует разложение по степеням β и для релятивистской энергии:

𝐸

=

𝑚

+

𝑚

β²

2

+

3

8

𝑚β⁴

+

…,

откуда

𝑇

=

𝐸

-

𝑚

=

𝑚

β²

2

+

3

8

𝑚β⁴

+

…

.

Здесь первый член справа — обычное ньютоновское выражение для кинетической энергии. Сравнивая с ним следующий член, найдём, что поправка порядка 10⁻² к ньютоновской механике, рассматриваемая в этом упражнении, будет иметь место при

⎡

⎢

⎣

𝑚β²

+

3

𝑚β⁴

⎤

⎥

⎦

-

𝑚β²

2

8

2

=

10⁻²

,

𝑚β²/2

т.е. когда

β²

=

4

3

⋅

10⁻²

.

Это и есть граница ньютоновской механики; сравните её с другими «границами», найденными в упражнениях 39 и 40 гл. 1. При такой скорости отношение кинетической энергии к энергии покоя равно

𝑚β²

2

⋅

𝑚⁻¹

=

β²

2

=

2

3

⋅

10⁻²

.

В случае протона его кинетическая энергия, соответствующая границе применимости ньютоновской механики, равна

𝑇

_𝑝

=

2

3

⋅

10⁻²

𝑚

_𝑝

≈

2

3

⋅

10⁻²

Бэв

=

2

3

⋅

10⁻²⋅10⁹

эв

=

2

3

⋅

10⁷

эв

≈

7

Мэв

.

В случае же электрона соответствующая кинетическая энергия равна

𝑇

_𝑒

=

2

3

⋅

10⁻²

𝑚

_𝑒

≈

2

3

10⁻²⋅10⁶

эв

≈

3

кэв

.

▲

58. Релятивистская ракета

а) Законы сохранения импульса и энергии выражаются как

-

𝑚

 

sh

 

θ

_выбр

+

𝑀₂sh (𝑑θ)

=

0,

𝑚

 

ch

 

θ

_выбр

+

𝑀₂ch (𝑑θ)

=

𝑀₁.

Перенесите вторые слагаемые из левых частей обеих формул вправо, разделите соответствующие части получившихся формул друг на друга и учтите соотношения

sh θ_выбр

ch θ_выбр

=

th

 

θ

_выбр

=

β

_выбр

,

sh (𝑑θ)

≈

𝑑θ

,

ch (𝑑θ)

≈

1

.

Вы получите требуемые соотношения.

б) Когда параметр скорости мал, β=θ, так что

𝑣

=

β𝑐

≈

β

_выбр



𝑐

ln

𝑀₁

𝑀

=

𝑣

_выбр

 

ln

𝑀₁

𝑀

,

что и требовалось показать.

в) Из закона сохранения энергии легко заключить, что 𝑚+𝑀₂=𝑀₁ так как для того, чтобы получить 𝑀₁, нужно сложить 𝑚 и 𝑀₂, предварительно умноженные на коэффициенты, много большие единицы. Рассматриваемый здесь процесс — это «обращённое неупругое столкновение»: в неупругих столкновениях кинетическая энергия переходит в массу покоя, тогда как здесь, наоборот, масса покоя превращается в кинетическую энергию ракеты и продуктов сгорания топлива.