Физика пространства - времени

г) Даже при наибольших допустимых отношениях масс (𝑀₁/𝑀→∞) и при самых высоких скоростях выброса (β_выбр→1) скорость ракеты будет лишь приближаться к скорости счета, но не сможет её превысить:

β

=

th θ

→

1

при

θ

=

β

_выбр

 

ln

𝑀₁

𝑀

→

∞

.

д) Вернёмся к выражению закона сохранения энергии, данному в ответе к части а). При очень большой скорости выброса величина ch θ_выбр стремится к бесконечности, и чтобы закон сохранения не нарушался при конечных значениях 𝑀₂ и 𝑀₁, величина массы выбрасываемых продуктов сгорания 𝑚 должна становиться очень малой. Предельный случай достигается для света, когда масса покоя ракетного горючего полностью превращается в энергию излучения.

е) Ракета, работающая на световых вспышках, не очень практична. Предположим (для грубой оценки), что лампа вместе с батарейкой обладает массой 1/2 кг и излучает пучок света мощностью 5 вт; за полчаса (около 2000 сек) излучённая энергия составит тогда 10⁴ вт⋅сек, или 10⁴ дж. Чтобы найти количество массы, перешедшей при этом в энергию, следует разделить 10⁴ дж на 𝑐² Получается приблизительно 10⁻¹³ кг — неудивительно, что наша лампа с батарейкой не становится заметно легче после работы!

Отношение масс для такой «ракеты» составляет

1

2

кг

×

⎛

⎜

⎝

1

2

кг

-

10⁻¹³

кг

⎞

⎟

⎠

,

или приблизительно 1+2⋅10⁻¹³. Чтобы вычислить скорость, приобретённую при этом первоначально покоившейся лампой [формула (110)], нужно найти натуральный логарифм числа 1+2⋅10⁻¹³; логарифм единицы равен нулю, и вблизи этого значения натуральный логарифм возрастает так же, как и его аргумент. Иными словами, ln(1+δ)≈δ при δ≪1. Отсюда и из формулы (110) следует, что скорость, приобретённая лампой, равна

β

≈

θ

=

ln(1+2⋅10⁻¹³)

≈

2⋅10⁻¹³

или

𝑣

=

𝑐β

=

6⋅10⁻⁵

м

/

сек

.

Быстро бы прогорела та пиротехническая компания, которая выпускала бы ракеты весом по полкило, «летающие» с такой скоростью! Причина того, что лампа способна развить лишь такую ничтожную скорость, выясняется при обсуждении, предложенном в тексте упражнения. Дело в том, что «шлак», остающийся при реакции — использованные батареи,— ускоряется здесь вместе с ракетой. Напротив, химическая ракета практичнее, так как выбрасывает свой шлак через сопло. Существует ряд «бесшлаковых» реакций для элементарных частиц, и в случае исходных частиц с отличными от нуля массами покоя потенциально важны реакции типа

(Частица)

+

(Античастица)

→

Излучение.

В качестве пары частица — античастица здесь могут фигурировать, например, электрон и позитрон или протон и антипротон. Ещё практичнее взять электрически нейтральные вещество и антивещество (атомы антиводорода, антижелеза и пр.) и хранить их в отдельных местах. Однако по развитию техники мы ещё очень далеки от возможности производить такие количества антивещества, которые требовались бы для ускорения ракет путём превращения в излучение частиц и античастиц при их аннигиляции в двигателе ракеты или непосредственно за её кормой. В упражнении 104 рассмотрены трудности, с которыми столкнутся проектировщики межзвёздных полётов, когда удастся преодолеть эту техническую трудность.

ж) Когда коэффициент, характеризующий замедление времени, равен 10, это значит, что ch θ=10. Из «способов быстрой оценки для простых смертных» в табл. 8 можно заключить, что при θ≫1 имеет место ch θ≈𝑒^θ. Если θ=0, то 𝑒^θ≈20, а ch θ≈10, что и требовалось. Если принцип ускорения ракеты основан на полном превращении массы в излучение (без шлака!), то из формулы (110) следует

𝑀₁

=

(Масса при старте)

=

𝑀

⎛

⎜

⎝

Масса после достижения

⎞

⎟

⎠

требуемой скорости

=

𝑒

^θ

≈

20

=

⎛

⎜

⎝

Удвоенный коэффициент

замедления времени

⎞

⎟

⎠

.

В случае химической ракеты достижение этой же скорости (или такой же величины коэффициента замедления времени) обходится намного дороже. Скорость выброса берётся равной

β

_выбр

=

4⋅10³

3⋅10⁸

=

1,33⋅10⁻⁵

,

и для неё из формулы (108) следует

ln

=

Масса при старте

Масса после набора скорости

=

=

θ

β_выбр

=

3

1,33⋅10⁻⁵

=

2,25⋅10⁵

.

Для того чтобы после разгона ракета ещё имела массу 1 т, необходима в этом случае начальная масса

𝑀₁

=

(1

т

)𝑒²²⁵ ⁰⁰⁰

=

10⁹⁷ ⁶⁰⁰

т

.

Хорошенькая ракета, если вспомнить, что масса наблюдаемой Вселенной оценивается по порядку величины в 10⁵⁰ т! ▲

59. Парадокс центра масс

а) В системе отсчёта ракеты пушечные ядра всё время движутся симметрично по отношению к центру трубы, так что центр масс этой системы ядер совпадает с центром трубы и остаётся неподвижным. Пока что никакого парадокса ещё нет.

Рис. 148