Физика пространства - времени

(равенство этих отношений означает, что векторы импульса и скорости имеют одинаковое направление). Отсюда и следует формула



𝑝

^𝑥

=

𝑚



sh



θ

_𝑟

.

▲

61. Второй вывод релятивистского выражения для энергии

а) На основании двух частей рис. 102 можно непосредственно записать закон сохранения импульса в ньютоновском пределе. Из верхней киноленты, снятой в лаборатории, следует закон сохранения в лабораторной системе отсчёта. Когда же на основании нижней киноленты рис. 102, снятой из ракеты, записывается закон сохранения импульса в этой системе, то стоящая в обеих частях уравнения скорость относительного движения систем β_𝑟 уничтожается, и остаётся в точности уравнение, уже полученное в лабораторной системе отсчёта. Итак, в системе отсчёта ракеты импульс автоматически сохраняется, если он сохранялся в лабораторной системе; но это верно лишь для столкновений с малыми скоростями.

б) Переходя к релятивистскому анализу, заметим, что в системе отсчёта ракеты (нижняя кинолента на рис. 103) закон сохранения импульса принимает вид

𝑚₁

sh



(θ₁-θ

_𝑟

)

+

𝑚₂

sh



(θ₂-θ

_𝑟

)

=

=

𝑚₁

sh



(

θ

₁-θ

_𝑟

)

+

𝑚₂

sh



(

θ

₂-θ

_𝑟

)

.

Воспользовавшись формулой (11) из правого столбца табл. 8, преобразуем здесь каждое из четырёх слагаемых так, чтобы получилось соотношение вида (112). У нас появятся две скобки: первая

(

𝑚₁

sh



θ₁

+

𝑚₂

sh



θ₂

-

𝑚₁

sh



θ

₁

-

𝑚₂

sh



θ

₂

)

и вторая

(

𝑚₁

ch



θ₁

+

𝑚₂

ch



θ₂

-

𝑚₁

ch



θ

₁

-

𝑚₂

ch



θ

₂

)

Каждая из них должна самостоятельно обращаться в нуль, что следует из условия задачи. Значит, должны выполняться уравнения (111) и (113). Короче говоря, чтобы импульс сохранялся в системе отсчёта ракеты, недостаточно его сохранения в лабораторной системе отсчёта, как это было в предельном случае малых скоростей (в ньютоновской механике), но необходимо ещё, чтобы в лабораторной системе сохранялась и энергия, что выражается уравнением (113).

в) Ход приведённых рассуждений в основном останется без изменения, если массы покоя разлетающихся частиц отличаются от масс частиц до соударения. При этом закон сохранения импульса в лабораторной системе отсчёта принимает вид

𝑚₁

sh



θ₁

+

𝑚₂

sh



θ₂

=

𝑚

₁

sh



θ

₁

+

𝑚

₂

sh



θ

₂

,

а закон сохранения энергии (тоже в лабораторной системе) —

𝑚₁

ch



θ₁

+

𝑚₂

ch



θ₂

=

𝑚

₁

ch



θ

₁

+

𝑚

₂

ch



θ

₂

,

Импульс будет сохраняться и в системе отсчёта ракеты, только если выполняются оба эти закона сохранения одновременно.

Что же касается сохранения кинетической энергии, то заметим, что, вычитая в случае упругого столкновения из соответствующих сторон уравнения (113) тождество 𝑚₁+𝑚₂≡𝑚₁+𝑚₂, получим

(𝑚₁ch



θ₁-𝑚₁)

+

(𝑚₂ch



θ₂-𝑚₂)

=

(𝑚₁ch



θ

₁-𝑚₁)

+

(𝑚₂ch



θ

₂-𝑚₂)

,

𝑇₁

+

𝑇₂

=

𝑇

₁

+

𝑇

₂.

Это и есть выражение того факта, что при упругих столкновениях кинетическая энергия сохраняется. В случае неупругих столкновений, когда 𝑚₁≠𝑚₁ и 𝑚₂≠𝑚₂, сохранения кинетической энергии нет и подобного уравнения записать нельзя. Особый интерес представляют неупругие столкновения без излучения, но с переходом части кинетической энергии в массу покоя: 𝑚₁+𝑚₂>𝑚₁+𝑚₂. ▲

62. Задачи на пересчёт

а) 100 вт — это 100 дж/сек, а так как в году около 30 миллионов секунд, то 100-ваттная лампочка излучает в год энергию, равную 3⋅10⁹ дж. Это соответствует массе покоя, равной (3⋅10⁹ дж)/𝑐²=¹/₃⋅10⁻⁷ кг.

б) 10¹² квт⋅ч= 10¹⁵ вт⋅ч= 10¹⁵⋅3600 вт⋅сек= 3,6⋅10¹⁸ дж. Это соответствует массе покоя (3,6⋅10¹⁸ дж)/𝑐²=40 кг. В действительности же в энергию при этом превращается более 40 кг массы, так как производство электроэнергии неизбежно сопровождается тепловыми потерями (часть массы «уходит» в тепло): так, теряется часть теплоты при использовании химической энергии (при сжигании угля), теряется теплота, возникающая в результате трения из механической энергии (в генераторах гидростанций). Конечно, оценка зависит от того, в каких масштабах рассматривать, например, струи газов, извергаемые трубами тепловой электростанции, работающей на угле. На микроскопическом уровне можно провести деление на массу покоя отдельных молекул и на кинетическую энергию их теплового движения. Напротив, в крупных масштабах получится, что эти горячие газы имеют массу покоя, превышающую сумму масс покоя отдельных составляющих их молекул (см. замечания по поводу «ящика с нагретым газом» на стр. 176). Конечно, та же участь ожидает и большую часть благополучно генерированной «полезной» электроэнергии, ведь её поглотят и превратят в теплоту стены освещённой с её помощью комнаты и т.д. и т.п. Так часть массы покоя угля превращается в электроэнергию, а потом —снова в массу покоя там, где эта энергия потребляется. И за целый год не найти ни одного момента, когда хоть сколько-нибудь заметная часть этих 40 кг энергии существовала в форме электроэнергии.

в) Студент производит энергию со скоростью (мощностью) в 2 лошадиные силы (л. с.): 1/2 л. с. полезной мощности + 3⋅½ л. с. превращается в теплоту (2 л. с. ≈ 1500 вт). Срок, необходимый для того, чтобы превратить 1 кг массы в энергию, можно найти по формуле

1500

 

вт

⋅𝑡

_сек

=

1

кг

⋅𝑐²

,