Физика пространства - времени

Диаграмма на рис. 151 изображает сохранение импульса в ходе предполагаемого дробления фотона на два других фотона, не сохраняющих его первоначального направления движения. Треугольник образован трёхмерными векторами импульса и построен в обычном трёхмерном эвклидовом пространстве. Поэтому сумма длин его боковых сторон должна быть больше длины основания, т.е.

⎛

⎜

⎜

⎝

Модуль импульса

первого

дочернего фотона

⎞

⎟

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎜

⎝

Модуль импульса

второго

дочернего фотона

⎞

⎟

⎟

⎠

>

>

⎛

⎜

⎝

Модуль импульса

исходного фотона

⎞

⎟

⎠

.

Однако импульс фотона по модулю равен его энергии. Значит, сумма энергий двух дочерних фотонов должна превосходить энергию исходного фотона, а это невозможно. Следовательно, одновременное сохранение и импульса, и энергии невозможно, если только фотоны — продукты дробления — не продолжают двигаться в том же направлении, в котором двигался первоначальный фотон. ▲

69. Давление света

а) Свет лампочки мощностью 1 вт приносит на поглощающую его поверхность 1 дж энергии каждую секунду. 1 дж эквивалентен энергии (массе), равной (1 дж)/𝑐²≈10⁻¹⁷ кг. Эта поверхность поглощает за одну секунду столько же импульса (выраженного в единицах массы); переход к обычным единицам осуществляется путём умножения на скорость света 𝑐 (см. стр. 141), что даёт в данном случае 3⋅10⁻⁹ кг⋅м/сек импульса, поступающего на поглощающую поверхность в секунду. Это соответствует силе, равной 3⋅10⁻⁹ кг⋅м/сек² т.е. 3⋅10⁻⁹ н.

б) Сила, действующая на каждый квадратный метр поглощающего спутника, в 1400 раз больше только что найденной, т.е. равна около 4⋅10⁻⁶ н. Когда свет падает на идеально отражающую поверхность, он отражается от неё в обратную сторону, так что изменение его импульса вдвое превышает полученную прежде величину — мы имеем теперь 8⋅10⁻⁶ н на каждый квадратный метр поверхности. В случае «реальных» поверхностей давление должно быть промежуточным между этими двумя значениями, цвет же поверхности играет роль лишь постольку, поскольку он характеризует её отражательную способность.

в) Запишем выражение для силы, действующей со стороны Солнца на частицу массы 𝑚 как 𝑚𝑎_Солнце где 𝑎_Солнце=𝐺𝑀/𝑅² — гравитационное ускорение, вызванное притяжением Солнца. (Что касается закона тяготения, см. введение к упражнению 73; вблизи Земли ускорение силы тяжести, вызываемое Солнцем, равно 6⋅10⁻³ м/сек² см. стр. 21). Сила, действующая со стороны солнечного света, представляет собой давление [см. часть б) этого упражнения], умноженное на эффективную поглощающую площадь частицы. Пусть частица имеет сферическую форму и полностью поглощает падающий на неё свет; тогда её поперечное сечение равно π𝑟². Обозначим давление солнечного света через 𝑃. Тогда отталкивающая сила будет равна 𝑃π𝑟², сила же гравитационного притяжения к Солнцу будет 𝑚𝑎_Солнце. Нас интересует, каких размеров должна быть частица, чтобы эти силы в точности уравновешивали друг друга:

𝑚𝑎

_Солнце

=

π𝑃𝑟²

.

Масса шарообразной частицы связана с её плотностью ρ и радиусом 𝑟 по формуле

𝑚

=

4π

3

𝑟³ρ

.

Подставляя её в уравнение баланса сил, найдём оттуда величину критического радиуса

𝑟

=

3

4

𝑃

ρ𝑎_Солнце

.

Чтобы определить численное значение 𝑟, необходимо задаться величиной плотности ρ; предположим поэтому, что она равна плотности воды, 10³ кг/м³. Используя также данные о давлении солнечного света вблизи Земли и о величине солнечного гравитационного ускорения в этой же области, найдём

𝑟

=

3

4

4⋅10⁻⁶ н/м²

(10³ кг/м³)(6⋅10⁻³ м/сек²)

=

5⋅10⁻⁷

м

.

Итак, частица должна быть довольно маленькой — радиусом примерно 1000 атомов. Интересно, что расстояние от Солнца при вычислениях сокращается. Отметим, что мы сделали здесь следующие предположения:

1) частица шарообразна,

2) частица полностью поглощает падающий на неё свет,

3) плотность частицы равна плотности воды. ▲

70. Эффект Комптона

В подписи к рис. 109 дано уравнение, выражающее закон сохранения импульса. Однако нас больше интересует здесь энергия, почему мы и произведём в нем замены

𝑝

=

𝐸

_фотон

,

 

𝑝

=

𝐸

_фотон

,

 

𝑃

²

=

𝐸

²-𝑚².

В результате получим уравнение

𝐸²

-

𝑚²

=

𝐸

_фотон

²



+

𝐸

_фотон

²



-

2

𝐸

_фотон



𝐸

_фотон



cos φ

,

в то время как собственно закон сохранения энергии даёт

𝐸

_фотон



+

𝑚

=

𝐸

_фотон



+

𝐸

,

если учесть, что электрон первоначально находился в покое, так что его полная энергия сводилась к энергии покоя 𝑚. Теперь нас не интересует энергия 𝐸 электрона после столкновения, и мы исключим её из полученных двух уравнений, получив, наконец, энергию фотона, рассеянного в направлении угла φ:

𝐸

_фотон

=

𝐸

_фотон

.

1

+

𝐸

_фотон

(1-cos φ)

𝑚

Разделив левую и правую стороны этого равенства на массу покоя электрона 𝑚, рассмотрим случай, когда 𝐸_фотон/𝑚=2:

𝐸_фотон

𝑚

=

2

1+2(1-cos φ)

.