Физика пространства - времени

г) Формула (119) непосредственно следует из ответа на часть б) этого упражнения. Для Земли (𝑀*=4,44⋅10⁻³ м, 𝑟_Земля6,7⋅10⁶ м) относительная величина гравитационного красного смещения равна

⎛

⎜

⎝

Δν

ν

⎞

⎟

⎠

Земля

≈

-7⋅10⁻¹⁰

,

т.е. численно совпадает с ответом на часть б). Для Солнца (𝑀*=1,47⋅10³ м, 𝑟_Солнце7⋅10⁸ м) относительная величина гравитационного красного смещения равна

⎛

⎜

⎝

Δν

ν

⎞

⎟

⎠

Солнце

≈

-2⋅10⁻⁶

.

▲

74. Плотность спутника Сириуса

Из формулы (119) следует величина радиуса

𝑟

=

𝑀*

-Δν/ν

=

1,5⋅10³ м

7⋅10⁻⁴

≈

2⋅10⁶

м

(менее одной трети радиуса Земли!). Плотность равна

𝑀

=

2⋅10³⁰

кг

≈

6⋅10¹⁰

кг

/

м

³

=

6⋅10⁷

г

/

см

³

4π

 𝑟²

4⋅8⋅10¹⁸

м

³

3

— в шестьдесят миллионов раз больше плотности воды! ▲

75. Формулы Допплера

а) В системе отсчёта ракеты

𝑝'

^𝑥

=

𝑝' cos φ',

𝑝'

^𝑦

=

𝑝' sin φ'.

Подставляя эти выражения для компонент импульса в формулы преобразования Лоренца (78), найдём

𝐸'

=

-𝑝

cos φ

sh



θ

_𝑟

+

𝐸

ch



θ

_𝑟

,

𝑝'cos φ'

=

𝑝

cos φ

sh



θ

_𝑟

-

𝐸

ch



θ

_𝑟

,

𝑝'sin φ'

=

𝑝

sin φ

.

Но для фотона 𝑝=𝐸, и первое из уравнений записывается в виде

𝐸'

=

𝐸

ch



θ

_𝑟

(1-β

_𝑟



cos φ)

,

как это требовалось показать [уравнение (120)]. Найдём теперь из второго уравнения cos φ' и исключим из него 𝐸 пользуясь (120):

cos φ'

=

𝐸 cos φ ch θ_𝑟-𝐸 sh θ_𝑟

𝐸 ch θ_𝑟(1-β_𝑟 cos φ)

,

cos φ'

=

cos φ-β_𝑟

1-β_𝑟 cos φ

.

б) Будем исходить из формул, обратных (78):

𝐸

=

𝑝'

^𝑥

 sh θ

_𝑟

+

𝐸' ch θ

_𝑟

,

𝑝

^𝑥

=

𝑝'

^𝑥

 ch θ

_𝑟

+

𝐸' sh θ

_𝑟

,

𝑝

^𝑦

=

𝑝'

^𝑦

,

𝑝

^𝑧

=

𝑝'

^𝑧

.

Вновь производя уже знакомые подстановки

𝑝'

^𝑥

=

𝑝' cos φ'

=

𝐸' cos φ'

,

𝑝'

^𝑦

=

𝑝' sin φ'

=

𝐸' sin φ'

и т.д., найдём из приведённой выше формулы преобразования энергии

𝐸

=

𝐸' ch



θ

_𝑟

(1+β

_𝑟

cos φ')

.

Подставляя этот результат в выписанную выше первую формулу для компонент импульса, найдём из неё

cos φ

=

cos φ'+β_𝑟

1+β_𝑟cos φ'

.

Эти результаты приведены в упражнении 76, а последняя формула была выведена также в упражнении 22 [уравнение (50)].

в) Энергия фотона 𝐸 и соответствующая ей классическая частота электромагнитной волны ν связаны друг с другом равенством 𝐸=ℎ/𝑐²⋅ν (см. упражнение 72). Поэтому уравнение (120) переписывается для частот в виде

ν'

=

ν ch



θ

_𝑟

⋅

(1-β

_𝑟

 cos φ)

.

Зная лишь, какая частота наблюдается в данной системе отсчёта, ещё невозможно сказать, чему равна частота в той системе, где источник излучения покоится. Итак, когда мы измеряем в нашей системе отсчёта частоту, мы никоим образом не получаем прямой информации о скорости источника относительно нашей системы. ▲

76. Распад π⁰-мезона; подробный пример

Решение дано в тексте.

77. Полёт неоновой лампочки

Пока неоновая лампочка находится на большом расстоянии от наблюдателя и быстро к нему приближается, её свет для наблюдателя очень ярок (эффект прожектора; упражнение 22) и далеко сдвинут в синюю сторону (частоты в диапазоне фиолетовых и ультрафиолетовых волн — эффект Допплера; упражнение 75). Затем яркость резко понизится (наблюдатель окажется вне «луча прожектора»), когда косинус угла, образованного лучом зрения и осью 𝑥, станет равен β_𝑟. В момент наибольшего сближения лампочки с наблюдателем её свет будет уже испытывать красное смещение (см. формулу (120) при φ=90°, cos φ=0). Когда лампочка будет улетать прочь, её свет будет очень слабым и далеко сдвинут в красную сторону (частоты в диапазоне дальних красных и инфракрасных волн). ▲

78. Физик и светофор

Учитывая в уравнении (120), что энергия 𝐸 пропорциональна частоте ν, а cos φ=-1, получим

ν'

=

ν ch



θ

_𝑟

⋅

(1+β

_𝑟



)

ν

⎛

⎜

⎝

1+β_𝑟

1-β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

.

Подставляя сюда ν=𝑐/λ, найдём

λ'

λ

=

⎛

⎜

⎝

1-β_𝑟

1+β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

или

β

_𝑟

=

1-(λ'/λ)²

1+(λ'/λ)²

.

При λ'/λ=(5300 Å)/(6500 Å)=0,81

(λ'/λ)²

=

0,66

,

так что

β

_𝑟

=

0,34/1,66

=

0,20

.

откуда

𝑣

_𝑟

=

β

_𝑟

𝑐

=

6⋅10⁷

м

/

сек

=

=

216⋅10⁶

км

/

час

=

13⋅10⁷

миль

/

час

,

так что штраф составит приблизительно 130 миллионов долларов. ▲

79. Допплеровское смещение на краю диска Солнца

На экваторе Солнца линейная скорость вращения, направленная по касательной к его поверхности, равна

𝑣

=

2π𝑟

𝑇

=

2π

2π10⁸ м

(24,7 дней)(86 400 сек/день)

=

=

2,1⋅10³

м

/

сек

,

так что

β

=

𝑣

𝑐

=

7⋅10⁻⁶

.

Из формулы (120) для эффекта Допплера, приняв φ=0, а cos φ=1, получим

ν'

=

ν

⎛

⎜

⎝

1-β_𝑟

1+β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

или

λ

=

λ'

⎛

⎜

⎝

1-β_𝑟

1+β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

≈

λ'

⎛

⎜

⎝

1

-

7⋅10⁻⁶

2

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

1

-

7⋅10⁻⁶

2

⎞

⎟

⎠

≈

≈

λ'

(1-7⋅10⁻⁶)

,

так что

Δλ

λ

=-

Δν

ν

≈

7⋅10⁻⁶

.

Сдвиг будет происходить в голубую сторону, когда излучающая точка приближается к Земле, и в красную, когда она удаляется от Земли. Полученная величина относительного допплеровского сдвига частоты сравнима с величиной относительного гравитационного сдвига также в случае Солнца 2⋅10⁻⁶ (см. упражнение 73). ▲

80. Расширяющаяся Вселенная

а) Согласно условиям задачи,

λ'

=

4870 Å

,

λ

=

7300 Å

,

φ

=

φ'

=

π

.

Формулу (120) можно записать в виде

𝐸

𝐸'

=

λ'

λ

=

⎛

⎜

⎝

1-β_𝑟

1+β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

или

β

_𝑟

=

1-(λ'/λ)²

1+(λ'/λ)²

.

Так как λ'/λ=0,67, (λ'/λ)²=0,45 то скорость равна

β

_𝑟

=

0,55

1,45

=

0,38

.