Физика пространства - времени

Когда электрон крепко связан в атоме, в качестве массы 𝑚 выступает масса этого атома в целом, и тогда эффективная величина отношения 𝐸_фотон/𝑚 оказывается в 20 тысяч раз меньше, чем при рассеянии фотонов на свободных электронах. В случае крепко связанных электронов знаменатель в формуле, описывающей эффект Комптона, становится практически равным единице при любых углах φ, так что энергия рассеянного фотона оказывается очень близка к энергии падающего.

Рис. 152.

▲

71. Измерение энергии фотона

Рис. 153.

На рис. 153 изображена диаграмма импульсов, причём через 𝑃 обозначен импульс электрона после столкновения. Для этого прямоугольного треугольника можно записать

𝑃

²

=

𝑝²

+

𝑝

²

=

𝐸

_фотон

²

+

𝐸

_фотон

²

,

𝑝

𝑝

=

𝐸_фотон

𝐸_фотон

=

3

4

.

С другой стороны, имеют место закон сохранения энергии

𝐸

_фотон

+

𝑚

=

𝐸

_фотон

+

𝐸

и релятивистское соотношение между энергией и импульсом для электрона

𝐸

²

-

𝑃

²

=

𝑚²

.

Из этих уравнений можно найти энергию падающего фотона

𝐸

_фотон

=

4𝑚

12

(проверку выполнения всех этих уравнений можно осуществить, используя следующие вспомогательные величины:

𝐸

_фотон

=

3𝑚

12

,

𝐸

=

13𝑚

12

,

𝑝

=

5𝑚

12

⎞

⎟

⎠

.

▲

72. Энергия и частота фотона

а) В случае фотона, движущегося вдоль оси 𝑥, формулы преобразования энергии и импульса (78) сводятся к одному-единственному равенству

𝐸'

=

𝐸 ch



θ

_𝑟

-

𝑝 sh



θ

_𝑟

=

𝐸(ch



θ

_𝑟

-

sh



θ

_𝑟

)

=

𝐸𝑒⁻

^θ_𝑟

,

где мы учли формальные определения функций ch θ и sh θ, приведённые в табл. 8.

б) Нулевая вспышка (𝑛=0) проходит через начало координат в момент 𝑡=0, и её распространение описывается в дальнейшем уравнением 𝑥=𝑡, т.е. 𝑡-𝑥=0. Вспышка № 1 (𝑛=1) проходит через начало координат в момент 𝑡=𝑐/ν, так что величина её 𝑥-координаты всегда на 𝑐/ν меньше, чем этой же координаты нулевой вспышки:

𝑥

=

𝑡

-

𝑐

ν

т.е.

1

=

ν

𝑐

(𝑡-𝑥)

.

Вспышка № 𝑛 проходит через начало координат в момент 𝑛𝑐/ν, и её 𝑥-координата всегда на 𝑛𝑐/ν меньше, чем у нулевой вспышки: 𝑥=𝑡-𝑛𝑐/ν, т.е. 𝑛=ν/𝑐⋅(𝑡-𝑥).

Это и есть то уравнение, которое требовалось получить. Свет распространяется с одной и той же скоростью 𝑐 и в лабораторной системе отсчёта, и в системе ракеты, так что те же рассуждения, взятые в применении к системе отсчёта ракеты, дают уравнение

𝑛

=

ν'

𝑐

(𝑡'-𝑥')

.

Подставим сюда значения 𝑡' и 𝑥' из формул преобразования Лоренца; мы получим

𝑛

=

ν'

𝑐

(𝑡-𝑥)(

ch

 

θ

_𝑟

+

sh

 

θ

_𝑟

),

𝑛

=

ν'

𝑐

(𝑡-𝑥)

𝑒

^θ_𝑟

.

Приравнивая друг другу выражения для 𝑛, полученные в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты, найдём

ν'

=

ν

𝑒⁻

^θ_𝑟

.

в) Равенства, полученные в частях а) и б) этого упражнения, выглядят одинаково, и это говорит за то, что энергия фотона 𝐸 пропорциональна его классической частоте (как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты). Коэффициент пропорциональности определяется на основании других экспериментов, которых мы здесь не касаемся; окончательно получим

𝐸

=

ℎ

𝑐²

ν

.

Умножая энергию, выраженную в единицах массы, на квадрат скорости света, получим 𝐸_обычн — энергию, измеренную в обычных единицах (см. разд. 10 гл. 2):

𝐸

_обычн

=

ℎν

.

г) Если это последнее соотношение подставить в формулу, описывающую эффект Комптона (упражнение 70), то получится формула (116). ▲

73. Гравитационное красное смещение

а) Работа, затрачиваемая на единицу массы при переходе от 𝑟 к 𝑟+𝑑𝑟, выражается формулой (117) и представляет собой вклад в потенциальную энергию частицы. Вблизи поверхности Земли 𝑟≈𝑟_Земля, и мы получим

𝑑𝑊

𝑚

=

𝑚*

𝑟_Земля²

𝑑𝑟

=

𝑔*

𝑑𝑟

.

Подставляя 𝑔≈10 м/сек² приближённо найдём

𝑔*

=

𝑔

𝑐²

≈

10 м/сек²

9⋅10¹⁶ м²/сек²

≈

10⁻¹⁶

м

/

м

²

,

так что относительное изменение массы покоя частицы при подъёме на 170 м равно

𝑑𝑊

𝑚

≈

1,7⋅10⁻¹⁴

≈

2⋅10⁻¹⁴

.

б) Отношение же полной работы к массе даётся формулой (118); если взять в ней в качестве 𝑚* массу Земли, равную 4,4⋅10⁻³ м, а за исходный радиус принять радиус Земли 𝑟_Земля мы получим

𝑊

𝑚

=

𝑚*

𝑟_Земля

≈

4,4⋅10⁻³ м

6,7⋅10⁶ м

≈

7⋅10⁻¹⁰

.

Отношения, полученные в частях а) и б) этого упражнения, не включают в правой стороне самую массу поднимающейся частицы.

в) Заменяя в формуле, полученной в части a), 𝑑𝑟 на 𝑧, а 𝑑𝑊/𝑚 — на отношение (изменение энергии)/(полная энергия), получим, учитывая формулу (115), требуемый результат. Знак минус в нем появился ввиду того, что изменение энергии отрицательно (она уменьшается с высотой) ¹.

¹ В отличие от кинетической энергии, потенциальная энергия пробной массы в гравитационном поле с точки зрения теории Ньютона всегда отрицательна и обращается в нуль на бесконечности, где поле отсутствует; таким образом, энергия возрастает с высотой. Авторы в действительности имеют в виду работу, необходимую для удаления массы из гравитационного поля, равную по абсолютной величине потенциальной энергии этой массы, но обратную ей по знаку. Возрастание потенциальной энергии с высотой отражает тот факт, что гравитация создает силы притяжения, а не отталкивания между массами (по принципу минимума энергии).— Прим. перев.