Физика пространства - времени

б) Для того чтобы со скоростью β=0,38 (в единицах скорости света) пройти расстояние 5⋅10⁹ световых лет, требуется (5⋅10⁹)/0,38=13⋅10⁹ лет. Если на более раннем этапе скорость была больше (гравитация произвела в дальнейшем торможение), то это же расстояние могло быть пройдено за более короткий срок. Поэтому, учитывая замедляющее влияние тяготения в прошлом, мы придём к меньшему сроку, прошедшему с момента начала расширения. ▲

81. Анализ парадокса часов с помощью эффекта Допплера

Пусть время путешествия туда и обратно равно 𝑡 в системе отсчёта Павла и 𝑡' — в системе отсчёта Петра. Тогда полное число пульсаций переменной звезды одно и то же в обеих системах отсчёта и равно соответственно ν'𝑡'=ν𝑡. Промежуток времени 𝑡, который покажут часы брата, оставшегося на Земле, равен 𝑡=(ν'/ν)𝑡. Найдём отношение частот по формуле (122), имея в виду, что переменная наблюдается домоседом Павлом под углом 90° к направлению движения Петра (φ=90°, cos φ=0). Отсюда получим

𝑡

=

𝑡'

ch

 

θ

_𝑟

.

В упражнении 27 было указано, что скорость равна β_𝑟=24/25, так что

ch

 

θ

_𝑟

=

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

=

[1-(24/25)]⁻¹

^/

²

=

=

(69/625)⁻¹

^/

²

=

25/7

.

Поэтому, если 𝑡'=7 лет, то 𝑡=255 лет, что уже было получено в упражнении 27. ▲

82. «Не превышайте скорости»

Скорость приближающейся машины равна 𝑣_𝑟=80 миль/час=36 м/сек. Отсюда

β

_𝑟

=

𝑣_𝑟

𝑐

=

12⋅10⁻⁸

Частота ν' в системе отсчёта машины может быть получена из уравнения (122), если принять φ=π. Ограничиваясь в разложении членами первой степени по β_𝑟, найдём

ν'

=

ν

_пад

⎛

⎜

⎝

1+β_𝑟

1-β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

≈

ν

_пад

⎛

⎜

⎝

1

+

β_𝑟

2

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

1

+

β_𝑟

2

⎞

⎟

⎠

,

ν'

=

ν

_пад



(1+β

_𝑟

).



Затем радиолокационный луч отражается от машины в противоположном направлении, и при этом в системе отсчёта машины частота ν' остаётся неизменной. Частоту, наблюдаемую в системе отсчёта автострады (лаборатории), можно найти из уравнения, обратного (122) (см. первую формулу в упражнении 76),

ν

_отр



=

ν'

ch



θ

_𝑟

⋅

(1+β

_𝑟



cos φ').

Теперь φ'=0, так что

ν

_отр



=

ν'

⎛

⎜

⎝

1+β_𝑟

1-β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

≈

ν'

(1+β

_𝑟

).



Подставляя сюда полученное выше выражение для ν' найдём

ν

_отр



≈

ν

_пад



(1+β

_𝑟

)²



≈

ν

_пад



(1+2β

_𝑟

).



Сдвиг частоты приблизительно равен

ν

_отр



-

ν

_пад



=

ν

_пад



⋅

2β

_𝑟



=

(2455

Мгц

)⋅2⋅12⋅10⁻⁸

≈

≈

590⋅10⁻⁶

Мгц

=

590

гц

.

Наименьшее изменение частоты, поддающееся обнаружению, равно

Δ

ν

_отр



=

2ν

_пад



Δ

β

_𝑟

.



Если Δ𝑣_𝑟=10 миль/час=4,47 м/сек, то Δβ_𝑟≈10⋅10⁻⁸, и мы получим относительный сдвиг частоты



Δ

ν

_отр

/

ν

_пад



=



2

Δ

β

_𝑟

≈

3⋅10⁻⁸

.

▲

83. Допплеровское уширение спектральных линий

Приравняйте ньютоновское выражение для кинетической энергии её выражению через температуру:

1

2

𝑚



〈𝑣²〉

_ср

=

3

2

𝑘𝑇

.

Отсюда

⎛

⎝



〈𝑣²〉

_ср

⎞½

⎠

=

⎛

⎜

⎝

3𝑘𝑇

𝑚

⎞½

⎟

⎠

и

β

_𝑟



≈

1

𝑐

⎛

⎝



〈𝑣²〉

_ср

⎞½

⎠

=

⎛

⎜

⎝

3𝑘𝑇

𝑚𝑐²

⎞½

⎟

⎠

.

Возьмите уравнение, обратное (122),

ν

=

ν'

ch



θ

_𝑟

⋅

(1+β

_𝑟



cos φ')

для того, чтобы определить сдвиг частот; положите здесь φ'=0 и используйте приближение для малых β_𝑟:

ν

=

ν'

⎛

⎜

⎝

1+β_𝑟

1-β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

≈

ν'

⎛

⎜

⎝

1+

1

2

β

_𝑟

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

1+

1

2

β

_𝑟

⎞

⎟

⎠

≈

≈

ν'

(1+β

_𝑟

).

 

Тогда

ν-ν'

ν'

≈

Δν

ν

=

β

_𝑟

=

⎛

⎜

⎝

3𝑘𝑇

𝑚𝑐²

⎞½

⎟

⎠

.

Наблюдаемая частота будет выше для тех частиц, которые приближаются к наблюдателю, и ниже для тех, которые удаляются. В целом при температурах, совместимых с ньютоновским приближением, должен наблюдаться эффект разброса частот, выражаемый полученной выше формулой («допплеровское уширение спектральных линий»). ▲

84. Изменение энергии фотона вследствие отдачи излучателя

а) Воспользуемся законами сохранения для того, чтобы определить энергию и импульс частицы, испытывающей отдачу:

𝑚

ch



θ

_𝑟

=

𝑚

-

𝐸

(энергия),

𝑚

sh



θ

_𝑟

=

𝐸

(импульс).

Возведите каждое из этих равенств в квадрат и вычтите первое из второго

𝑚

²

(ch²



θ

_𝑟

-

sh²



θ

_𝑟

)

=

𝑚

²

=

(𝑚-𝐸)²

-

𝐸²

=

=

𝑚²

-

2𝑚𝐸

.

Отсюда следует выражение для энергии

𝐸

=

𝑚²-𝑚²

2𝑚

.

В частном случае, когда отношение

𝑚-𝑚

𝑚

мало',

𝐸

=

(𝑚+

𝑚

)

𝑚-𝑚

2𝑚

≈

𝑚

-

𝑚

=

𝐸₀

(тем самым определяется 𝐸₀). В точном выражении заменим повсюду 𝑚 по формуле 𝑚=𝑚-𝐸₀; получим

𝐸

=

𝐸₀

𝑚-𝑚

2𝑚

=

𝐸₀

𝑚+𝑚-𝐸₀

2𝑚

=

𝐸₀

⎛

⎜

⎝

1

-

𝐸₀

2𝑚

⎞

⎟

⎠

,

что и требовалось показать.

б) Относительная поправка за счёт отдачи при излучении атомами видимого света составляет

Δ𝐸

𝐸₀

≈

3 эв

2⋅10¹⁰ эв

=

1,5⋅10⁻¹⁰

(отдача).

Если 𝑘𝑇≈1/40 эв, то формула, полученная в упражнении 83, даёт

Δν

ν

=

Δ𝐸

𝐸₀

=

√3/40

√10⋅10⁹

≈

3⋅10⁻⁶

(по Допплеру).

Мы видим, что допплеровское уширение частот видимого света, излучаемого атомами, намного больше, чем эффект сдвига энергии фотона за счёт отдачи атома. ▲

85. Эффект Мёссбауэра

Возьмём из предыдущего упражнения уравнение (123)

Δ𝐸

𝐸₀

=-

𝐸₀

2𝑚

.

Как энергию испущенного фотона 𝐸₀=14,4⋅10³ эв, так и массу покоя 𝑚 испустившей его частицы нужно выразить в одних и тех же единицах. Масса покоя протона приблизительно равна 10⁹ эв (см. данные в конце книги); масса покоя 𝙵𝚎⁵⁷, состоящего из 26 протонов и 31 нейтрона, превышает эту величину примерно в 57 раз. Следовательно,

Δ𝐸

𝐸₀

≈-

14⋅10³ эв

2⋅57⋅10⁹ эв

≈-

10⁷

.

б) Когда 𝑚=1 г=10⁻³/(1,7⋅10⁻²⁷ кг/протон)≈0,6⋅10²⁴ масс протонам ≈0,6⋅10³³ эв, мы получим

Δ𝐸

𝐸₀

≈-

14⋅10³ эв

6⋅10³² эв

≈-

2⋅10⁻²⁹