Физика пространства - времени

откуда получается 𝑡_сек=6⋅10¹⁴ сек — больше десяти миллионов лет! Конечно, чтобы похудеть на 1 кг, никому не потребуется так долго крутить педали— химические процессы «горения» в организме чрезвычайно расточительны (коэффициент перевода массы в энергию невероятно мал), и удаление продуктов сгорания приводит к намного более быстрой потере массы, чем если бы она превращалась в энергию.

г) Полное количество световой энергии, испускаемой за одну секунду Солнцем, можно подсчитать, умножив величину энергии излучения, проходящую за 1 сек через 1 м² поверхности, перпендикулярной падающим лучам вблизи Земли (т.е. солнечную постоянную), на площадь в квадратных метрах воображаемой сферы радиуса, равного радиусу орбиты Земли, с центром в Солнце. Этот радиус равен приблизительно 𝑟=150 млн. км=1,5⋅10¹¹ м, площадь же соответствующей сферы составляет

4π𝑟²

≈

3⋅10³³

м

²

.

Количество энергии в джоулях, уходящей сквозь эту воображаемую поверхность каждую секунду, равно

(1,4

дж

/

сек

⋅

м

²)

(3⋅10²³

м

²)

≈

4⋅10²³

дж

/

сек

,

что соответствует скорости потери массы Солнцем

(4⋅10²³

дж

/

сек

)/𝑐²

≈

4⋅10⁶

кг

/

сек

—

приблизительно 4000 т в 1 сек. Такова та часть массы Солнца, которая ежесекундно теряется им вследствие превращения вещества в свет. Количество массы такого же порядка излучается Солнцем в форме нейтрино. Ещё большую роль в потерях массы Солнцем играет «солнечный ветер»— непосредственное выбрасывание вещества в пространство. Земля преграждает путь этим потокам на площади, приблизительно равной

π𝑟²

_Земля

≈

3⋅(6⋅10⁶

м

)²

≈

10¹⁴

м

²

,

так что на неё падает в секунду около 1,4⋅10¹⁴ дж энергии в форме солнечного света. В год это составляет примерно 4⋅10²¹ дж — почти 50 000 кг энергии (массы). Часть падающего на неё света, конечно, отражается Землёй, а ещё некоторая часть снова излучается ею в космос в других диапазонах частот.

д) Скорость каждого поезда, выраженная в метрах пути на метр светового времени, равна

β

=

𝑣

𝑐

=

45 м/сек

3⋅10⁸ м/сек

=

1,5⋅10⁻⁷

.

При этом полная кинетическая энергия очень близка к той, которую даёт теория Ньютона:

𝑇

_полн

≈

𝑚β²

2

≈

(10⁶

кг

)(2⋅10⁻¹⁴)

=

2⋅10⁻⁸

кг

=

=

2⋅10⁻⁵

г

=

20

мк

.

Такова кинетическая энергия двух поездов до столкновения; она и переходит в ту добавочную массу покоя, на которую увеличивается масса поездов, рельсов и насыпи сразу же после столкновения. ▲

63. Релятивистская химия

10⁸ дж энергии соответствуют (10⁸ дж)/𝑐²≈10⁻⁹ кг. Это составляет примерно 10⁻¹⁰ от тех 9 кг воды, которые получаются при полном соединении водорода и кислорода, а самые чувствительные химические весы неспособны зарегистрировать изменение веса, менее чем в 1000 раз превышающее эту величину. ▲

64. Релятивистский осциллятор

а) Нет, инженер не сможет получить здесь сколь угодно высокой частоты. Так как скорость электрона не может быть больше скорости света, период одного колебания не удастся неограниченно уменьшать (в системе отсчёта ящика).

б) Когда напряжение возрастает вдвое, кинетическая энергия электрона в соответствующих точках его траектории также удваивается. Однако ньютоновское выражение для кинетической энергии, справедливое при малых скоростях, имеет вид ½⋅𝑚β², и поэтому скорость β увеличивается в √2=1,414… раз при удвоении величины напряжения. Во столько же раз, следовательно, увеличится при этом и частота.

в) Вывод, полученный в части б), наводит на мысль, что частота колебаний электрона увеличивается пропорционально корню квадратному из величины приложенного напряжения. Чтобы найти коэффициент пропорциональности, заметим, что электрон подвергается постоянному ускорению в каждой половине ящика, причём на него действует сила, равная 𝑞𝑉₀/(𝐿/2) Здесь 𝑞 — заряд электрона, а 𝐿 — ширина ящика (равная в нашем случае 1 м). Тогда ускорение равно 𝑎=𝑞𝑉₀/(𝑚𝐿/2), а время 𝑡, необходимое для того, чтобы электрон прошёл путь от одной стенки ящика (где он покоился) до его центра, определяется из обычного уравнения равноускоренного движения, 𝑠=½⋅𝑎𝑡². В нашем случае 𝑠=𝐿/2 и 𝑡=𝑇/4 (четверть периода), тогда как 𝑎 даётся приведённым выше выражением. Отсюда

𝐿

2

=

1

2

2𝑞𝑉₀

𝑚𝐿

⎛

⎜

⎝

𝑇

2

⎞²

⎟

⎠

и следовательно,

ν²

=

⎛

⎜

⎝

1

𝑇

⎞²

⎟

⎠

=

𝑞𝑉₀

8𝑚𝐿²

.

Действительно, полученное выражение для частоты оказывается пропорционально квадратному корню из величины приложенного напряжения 𝑉₀.

г) В крайнем ультрарелятивистском случае электрон большую часть времени движется почти со скоростью света. В результате величина периода 𝑇_мин становится близка к тому времени, за которое свет покрывает расстояние 2𝐿:

𝑇

_мин

=

2𝐿

𝑐

или

ν

_макс

=

1

𝑇_мин

=

𝑐

2𝐿

.

д) Начертить предлагаемый график проще, если взять не самую величину ν, а безразмерное отношение

ν

ν_макс

=

⎛

⎜

⎝

𝑞𝑉₀

2𝑚𝑐²

⎞½

⎟

⎠

(ньютоновский предел),

ν

ν_макс

=

1

(ультрарелятивистский предел).

Рис. 150.