Читаем Физика пространства - времени полностью

Физика пространства - времени

Джон Арчибальд Уиллер , Н. В. Мицкевич , Эдвин Флориман Тейлор

координатами (в том числе и временем) события в лабораторной системе отсчёта (нештрихованные координаты) и координатами того же события в системе отсчёта ракеты (штрихованные координаты)

Для упрощения исследования берётся частный случай, когда

𝗘

начала обеих систем совпадают

поворот берётся в плоскости 𝑥𝑦, причём ось 𝑦' составляет с осью 𝑦 угол θ_𝑟 (наклон 𝑆_𝑟=tg θ_𝑟) 𝑧=𝑧'

все координаты измеряются в метрах

𝗟

начала совпадают при 𝑡=𝑡'=0 (опорное событие)

система отсчёта ракеты движется в положительном направлении оси 𝑥 лабораторной системы отсчёта, причём параметр скорости равен θ_𝑟 (скорость β_𝑟=th θ_𝑟), 𝑦=𝑦', 𝑧=𝑧'

все координаты измеряются в метрах (в том числе время, измеряемое в «метрах светового времени»)

Сохраняющий одно и то жe значение в обеих системах инвариант имеет вид

𝗘

(Длина)²=𝐿²=𝑥²+𝑦²+𝑧²

Таким образом,

𝑥²+𝑦²=𝑥'²+𝑦'²

𝗟

(Пространственный интервал)²=σ²=-(Временноподобный интервал)²=-τ²=𝑥²+𝑦²+𝑧²-𝑡²

Таким образом,

𝑥²-𝑡²=𝑥'²-𝑡'²

При проверке выполнения последнего условия используется общее свойство

𝗘

cos²θ+sin²θ=1

тригонометрических функций

𝗟

ch²+sh²=1

гиперболических функций

Преобразование от штрихованных к нештрихованным координатам

𝗘

(преобразование эвклидова поворота)

𝑥=𝑥'cos θ_𝑟+𝑦'sin θ_𝑟 =

𝑥'+𝑆_𝑟𝑦'

√1+𝑆_𝑟² ; 𝑦=-𝑥'sin θ_𝑟+𝑦'cos θ_𝑟 =

-𝑆_𝑟𝑥'+𝑦'

√1+𝑆_𝑟² ;

𝗟

(преобразование Лоренца)

𝑥=𝑥'ch θ_𝑟+𝑡'sh θ_𝑟 =

𝑥'+β_𝑟𝑡'

√1+β_𝑟² ; 𝑡=𝑥'sh θ_𝑟+𝑡'ch θ_𝑟 =

β_𝑟𝑥'+𝑦'

√1-β_𝑟² ;

Преобразование от нештрихованных к штрихованным координатам

𝗘

𝑥'=𝑥 cos θ_𝑟-𝑦 sin θ_𝑟 =

𝑥-𝑆_𝑟𝑦

√1-𝑆_𝑟² ;

𝑦'=𝑥 sin θ_𝑟+𝑦 cos θ_𝑟 =

𝑆_𝑟𝑥+𝑦

√1+𝑆_𝑟² .

𝗟

𝑥'=𝑥 ch θ_𝑟+𝑡 sh θ_𝑟 =

𝑥-β_𝑟𝑡

√1-β_𝑟² ;

𝑡'=-𝑥 sh θ_𝑟+𝑡 ch θ_𝑟 =

-β_𝑟𝑥+𝑦

√1-β_𝑟² .

Фундаментальный закон сложения

𝗘

наклонов:

если некоторая линия образует угол θ с повёрнутой осью 𝑦', то угол θ, образуемый этой же линией с исходной осью 𝑦, определяется выражением

θ=θ'+θ_𝑟,

или для относительных наклонов tg θ =

tg θ'+tg θ_𝑟

1-tg θ' tg θ_𝑟 , 𝑆 =

𝑆'+𝑆_𝑟

1-𝑆'𝑆_𝑟

𝗟

скоростей:

если пуля движется в направлении оси 𝑥 и параметр её скорости равен θ' в штрихованной системе отсчёта ракеты, то параметр скорости пули относительно нештрихованной лабораторной системы отсчёта θ определяется выражением

θ=θ'+θ_𝑟,

или для относительных скоростей th θ =

th θ'+th θ_𝑟

1+th θ' th θ_𝑟 , β =

β'+β_𝑟

1+β'β_𝑟

Сводка формул главы 2, выраженных в единицах массы и в обычных единицах

𝗠

Формулы, включающие 𝑝, 𝐸, 𝑇, выраженные в единицах массы

𝗢

Формулы, включающие 𝑝_обычн=𝑝𝑐, 𝐸_обычн=𝐸𝑐², 𝑇_обычн=𝑇𝑐², выраженные в обычных единицах

𝗙