Физика пространства - времени

б) Спиновый момент импульса неизвестной частицы должен уничтожаться в сумме со спиновым моментом μ+-мезона ½ℏ. Отсюда следует, что спиновый момент неизвестной частицы по абсолютной величине равен ½ℏ и направлен в сторону, противоположную спиновому моменту μ+-мезона. ▲

100. Накопительные кольца и встречные пучки

Рис. 162.

В лабораторной системе отсчёта полная величина энергии, которая может реализоваться во взаимодействии, равна суммарной кинетической энергии сталкивающихся электронов, т.е. 500 Мэв + 500 Мэв = 1000 Мэв = 1 Бэв, плюс энергия покоя этих электронов, т.е. 1/2 Мэв + 1/2 Мэв = 1 Мэв, которой можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией. В любой другой системе отсчёта полная величина энергии, которая может реализоваться во взаимодействии, будет такой же. На рис. 162 представлены ситуации в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты. В последней один из электронов первоначально покоится; найдём кинетическую энергию другого. Частица 1 может покоиться в той системе, параметр скорости которой определяется соотношением

𝐸

=

𝑚 ch



θ

_𝑟

или

ch



θ

_𝑟

=

𝐸

𝑚

≈

𝑇

𝑚

≈

1000

.

При столь больших скоростях из равенства (89), 𝐸≈𝑝, следует, что sh θ_𝑟≈ch θ_𝑟≈1000. Поэтому формула преобразования энергии записывается для частицы 2 (с импульсом -𝑝) в виде

𝐸₂'

=

𝐸₂

ch



θ

_𝑟

-

𝑝₂

sh



θ

_𝑟

=

𝐸

ch



θ

_𝑟

-

𝑝

sh



θ

_𝑟

≈

≈

2𝐸

ch



θ

_𝑟

≈

2𝐸

𝑇

𝑚

≈

(2⋅500

Мэв

)⋅1000

=

=

10⁶

Мэв

=

10³

Бэв

.

Такова кинетическая энергия, которую следует придать одиночному электрону, налетающему на покоящийся электрон, чтобы полная энергия, которая может реализоваться во взаимодействии, составляла 1000 Мэв.

Если взять для протонов (у которых 𝑚=1 Бэв) 𝐸₂'=10³ Бэв, то, читая предыдущие соотношения в обратном порядке, получим

2𝐸

_𝑝

=

𝑇_𝑝

𝑚

≈

2

𝑇_𝑝²

𝑚

≈

10³

Бэв

или

𝑇

_𝑝

²

=

𝑚

2

⋅

10²

Бэв

²

≈

500

Бэв

²

,

𝑇

_𝑝

=

22

Бэв

.

Значит, протоны, «консервируемые» в накопительных кольцах, должны обладать энергией 22 Бэв, и полная энергия взаимодействия составит 22+22+1+1=46 Бэв. ▲

101. Де Бройль и Бор

Из упражнения 72 известно, что

𝐸

=

𝑝

=

ℎ

𝑐²

ν

.

однако

ν

=

𝑐

λ

,

так что

𝑝

=

ℎ

λ𝑐

или

λ

=

ℎ

𝑝𝑐

=

ℎ

𝑝_обычн

,

где 𝑝_обычн=𝑝𝑐 — импульс, выраженный в обычных единицах. Потребуем, чтобы для электрона, движущегося по орбите вокруг ядра, выполнялось равенство

𝑛λ

=

2π𝑟

,

𝑛

=

1,

2,

3,

…,

или

𝑛ℎ

𝑝_обычн

=

2π𝑟

,

или

𝑟𝑝

_обычн

=

𝑛

ℎ

2π

=

𝑛ℏ

,

𝑛

=

1,

2,

3,

…,

Отсюда следует, что орбитальный момент импульса электрона 𝑟𝑝_обычн должен быть равен целому кратному ℏ «кванта момента импульса».

Приравняем силу электрического притяжения 𝐾𝑍𝑒²/𝑟² электрона (заряд 𝑒) к ядру (заряд 𝑍𝑒) центробежной силе

𝑚𝑣²

𝑟

=

𝑚²𝑣²

𝑚𝑟

=

(𝑝_обычн)²

𝑚𝑟

,

необходимой для удержания электрона на круговой орбите. Постоянная 𝐾 зависит от выбора системы единиц (в единицах СГС 𝐾=1; в системе СИ, или МКС, 𝐾=1/(4 πε₀) н⋅м²/к²:

(𝑝_обычн)²

𝑚𝑟

=

𝐾𝑍𝑒²

𝑟²

или

(𝑟𝑝

_обычн

)²

=

𝑛²ℏ²

𝐾𝑍𝑒²𝑚𝑟

,

откуда получим

𝑟

=

𝑛²ℏ²

𝐾𝑍𝑒²𝑚

.

Формула (126а) получится, если использовать систему 𝐾=1/(4 πε₀) мула (126б) — если положить 𝐾=1.

Величину скорости β можно найти из формулы, справедливой в случае малых скоростей:

β

=

𝑝_обычн

𝑚𝑐

=

𝑛ℏ

𝑚𝑟𝑐

=

𝑛ℏ

𝑚𝑐𝑛²ℏ²/(𝐾𝑍𝑒²𝑚)

=

=

𝐾𝑍𝑒²

𝑛ℏ𝑐

=

𝐾𝑒²

ℏ𝑐

⋅

𝑍

𝑛

=

α𝑍

𝑛

.

▲

102. Ви'дение посредством электронов

В формулу для импульса 𝑝=ℎ/λ𝑐 подставим значения λ=10⁻⁶ м и λ=10⁻¹⁵ м а затем найдём соответствующие значения энергии по формуле 𝐸/𝑚=√1+(𝑃/𝑚)². При λ=10⁻⁶ м энергия получается приближённо равной

𝐸

𝑚

≈

1

+

3⋅10⁻¹²

,

так что

𝑇

≈

3⋅10⁻¹²

𝑚

.

Примем 𝑚=0,5 Мэв; необходимая кинетическая энергия будет тогда равна

𝑇

≈

1,5⋅10⁻⁶

эв

.

Чтобы электронный микроскоп обладал достаточной разрешающей способностью для наблюдения бактерий, электроны должны пропускаться через разность потенциалов не менее одного микровольта. Такие низкие напряжения на практике трудно поддерживать стабильно; более того, столь медленные электроны вовсе не способны пройти даже сквозь высушенную бактерию. Поэтому пользуются электронами с энергиями в несколько тысяч электронвольт, и это позволяет наблюдать детали строения бактерий. При λ=10⁻¹⁵ м энергия должна быть равна

𝐸

𝑚

=

2,4⋅10³

≈

𝑇

𝑚

,

𝑇

=

2,4⋅10³⋅0,5

Мэв

≈

10⁹

эв

=

1

Бэв

.

Для выявления деталей структуры протонов и нейтронов необходимы электроны, ускоренные не менее чем до таких энергий. ▲

103. Прецессия Томаса

Все этапы решения этой задачи подробно изложены в тексте.

104. Трудности межзвёздных полётов

а) Требуемую величину параметра скорости можно определить по коэффициенту замедления времени, ch θ=10. По «способам быстрой оценки для простых смертных» (см. табл. 8 на стр. 78) для параметра скорости приближённо найдём 𝑒^θ=20 или θ=3. Отношение начальной массы ракеты к конечной для одного этапа ускорения из состояния покоя до данного конечного значения параметра скорости (или для замедления от данного значения параметра скорости до состояния покоя) можно вычислить по формуле (110) из упражнения 58:

θ

=

ln

𝑀₁

𝑀

.

Отсюда следует искомое отношение масс

𝑀₁

𝑀

=

𝑒

^θ

=

20

.