Физика пространства - времени

Рис. 158. Диаграмма реально происходящей реакции: до реакции два фотона, после реакции — электрон-позитронная пара. Показан случай порогового рождения пары, когда электрон и позитрон неподвижны относительно друг друга.

Сначала рассмотрим пороговую реакцию, после которой возникающие электрон и позитрон не разлетаются (рис. 158; см. также упражнение 93). Запишем компоненты 4-вектора энергии-импульса до и после реакции и приравняем их:

𝐸₁

+

𝐸₂

=

2

𝐸

,

𝐩₁

+

𝐩₂

=

2

𝐩

.

Найдём квадрат этого 4-вектора:

(Энергия)

²

-

(Импульс)

²

=

=

𝐸₁²

+

2𝐸₁𝐸₂

+

𝐸₂²

-

𝑝₁²

-

2𝑝₁𝑝₂

cos φ

-

𝑝₂²

=

=

4

𝐸

²

-

4

𝑝

²

.

Полученное уравнение упрощается, если учесть, что разность 𝐸²-𝑝² равна 0 для фотонов и 𝑚 для электронов или позитронов, а также что 1-cos φ=2 sin² ½φ. В результате найдём

𝐸₁

𝐸₂

sin²

φ

2

=

𝑚²

.

Выполнение этого условия соответствует тому, что реакция идёт на пределе (пороговое условие). Если слева будет стоять большая величина, то это значит, что энергии, которой два фотона обладают в системе центра масс (когда их суммарный импульс равен нулю), в принципе было бы достаточно для образования пары более массивных частиц, чем электрон и позитрон. Этот избыток энергии (величины в левой части равенства) означает также, что, если на самом деле рождается пара (𝑒⁺, 𝑒⁻), то её компоненты будут находиться в относительном движении и их кинетическая энергия не будет равна нулю в системе центра масс; иначе говоря, мы будем иметь дело уже с надпороговой реакцией. ▲

97. Аннигиляция электрон-позитронной пары

а) В системе центра масс перед аннигиляцией полный импульс равен нулю. Значит, он должен быть равен нулю и после аннигиляции. Однако одиночный фотон не может обладать нулевым импульсом. Поэтому, чтобы закон сохранения импульса не нарушался, должно быть испущено по крайней мере два фотона (рис. 159).

Рис. 159.

б) Запишем закон сохранения энергии:

𝐸

+

𝑚

=

𝐸

₁

+

𝐸

₂

или

𝐸

₂²

=

⎛

⎝

𝐸

+

𝑚

-

𝐸

₁

⎞²

⎠

.

Закон сохранения импульса ясен из рис. 160.

Рис. 160.

Воспользуемся законом косинусов

𝐸

₂²

=

𝐸

₁²

+

𝑝²

-

2𝑝

𝐸

₁

cos φ₁

=

=

𝐸

₁²

+

𝐸²

-

𝑚²

-

2𝑝

𝐸

₁

cos φ₁

.

Приравнивая друг другу два выражения для 𝐸₂² найдём

𝐸²

+

𝑚²

+

𝐸

₁²

+

2𝑚𝐸

-

2𝐸

𝐸

₁

-

2𝑚

𝐸

₁

=

=

𝐸

₁²

+

𝐸²

-

𝑚²

-

2𝑝

𝐸

₁

cos φ₁

.

Отсюда следует выражение для 𝐸₁:

𝐸

₁

=

𝑚(𝑚+𝐸)

𝐸+𝑚-𝑝 cos φ₁

=

𝑚(2𝑚+𝑇)

2𝑚+𝑇-cos φ₁√𝑇²+2𝑚𝑇

или, наконец, в единицах массы электрона 𝑚,

𝐸

₁

=

1

.

𝑚

1

-

cos φ₁

√

1+2𝑚/𝑇

в) При заданной кинетической энергии сталкивающегося позитрона 𝑇 максимальная энергия гамма-кванта реализуется при cos φ₁=1, т.е. φ₁=0, и равна

⎛

⎜

⎝

𝐸₁

𝑚

⎞

⎟

⎠

макс

=

1

1-(1+2𝑚/𝑇)⁻¹^/²

.

Минимальная энергия фотона соответствует cos φ₁=-1, т.е. φ₁=π, и равна

⎛

⎜

⎝

𝐸₁

𝑚

⎞

⎟

⎠

мин

=

1

1+(1+2𝑚/𝑇)⁻¹^/²

.

г) При очень малых 𝑇 (очень больших отношениях 𝑚/𝑇) максимальная и минимальная энергии приближённо равны друг другу:

⎛

⎜

⎝

𝐸₁

𝑚

⎞

⎟

⎠

макс

≈

⎛

⎜

⎝

𝐸₁

𝑚

⎞

⎟

⎠

мин

≈

1

(малые

𝑇

).

Каждый фотон уносит энергию, равную энергии покоя одного электрона; первоначальной кинетической энергией можно пренебречь.

При очень больших 𝑇 (очень малых отношениях 𝑚/𝑇) максимальная и минимальная энергии испущенных фотонов резко отличаются друг от друга:

⎛

⎜

⎝

𝐸

₁

⎞

⎟

⎠

макс

≈

1

=

𝑇

,

𝑚

1

-

⎛

⎜

⎝

1

-

𝑚

⎞

⎟

⎠

𝑚

𝑇

⎛

⎜

⎝

𝐸₁

𝑚

⎞

⎟

⎠

мин

≈

1

2

(большие

𝑇

).

В этом случае самый богатый энергией из испущенных фотонов уносит с собой кинетическую энергию сталкивающегося позитрона, которая очень велика. Минимальная энергия здесь составляет половину массы покоя электрона. ▲

98. Проверка принципа относительности

Рис. 161.

а) Схему на рис. 122 можно представить в виде диаграммы (рис. 161). Законы сохранения записываются как

𝐸

+

𝑚

=

𝐸

₁

+

𝐸

₂

,

𝑝

=

𝐸

₁

cos 30°

-

𝐸

₂

sin 30°

,

0

=

𝐸

₁

sin 30°

-

𝐸

₂

cos 30°

.

Из последних двух уравнений следует

𝐸

₂

=

𝐸

₁

sin 30°

cos 30°

=

0,58

𝐸

₁

,

и

𝑝

=

𝐸

₁

⎛

⎜

⎝

cos 30°

-

sin² 30°

cos 30°

⎞

⎟

⎠

=

0,58

𝐸

₁

.

Подставляя эти выражения в уравнение для сохранения энергии, найдём

𝐸

+

𝑚

=

𝑝

0,58

+

𝑝

=

2,75𝑝

=

2,75√

𝐸²-𝑚²

=

=

2,75

√

𝐸+𝑚

√

𝐸-𝑚

или

√

𝐸+𝑚

=

2,75

√

𝐸-𝑚

.

Возводя в квадрат, получим

𝐸+𝑚

=

7,6

(𝐸-𝑚)

,

откуда следует величина энергии

𝐸

=

1,3𝑚

.

Кинетическая энергия налетающего позитрона, регистрируемого таким способом, равна

𝑇

=

𝐸

-

𝑚

=

0,3𝑚

=

0,3⋅0,5⋅10⁶

эв

=

150

кэв

.

При этом скорость не близка к единице, и её величину приходится находить непосредственным вычислением:

𝐸

=

𝑚 ch



θ

_𝑟

=

𝑚(1-β²)

^-½

=

1,3𝑚

,

1

-

β²

=

0,59

,

β

=

0,64

.

б) Следовало бы регистрировать разность времён между попаданиями гамма-квантов в счётчики 𝐴 и 𝐵, расположенные на равных расстояниях от мишени. Если бы такая разность была обнаружена, она свидетельствовала бы о различии величины скорости света в зависимости от того, вперёд или назад был он испущен движущейся частицей. Соответствующие экспериментальные результаты приведены на рис. 123. ▲

99. Отождествление частиц по трекам в пузырьковой камере

а) Лабораторная система отсчёта является одновременно и системой центра масс; в ней законы сохранения принимают вид

𝑚

_π

=

𝐸

_μ

+

𝐸

_𝑥

=

√

𝑝

_μ

²+𝑚

_μ

²

+

√

𝑝

_𝑥

²+𝑚

_𝑥

²

,

𝑝

_μ

=

58,2𝑚

_𝑒

=

𝑝

_𝑥

.

Подставим значение 𝑝, следующее из второго уравнения, в первое и используем значения масс покоя мезонов, указанные в условиях задачи. С точностью логарифмической линейки найдём

58𝑚

_𝑒

=

√

58,2𝑚

_𝑒

+𝑚

_𝑥

²

.

Это уравнение заставляет думать, что 𝑚_𝑥 либо точно равняется нулю, либо намного меньше, чем 𝑚_𝑒.