Физика в примерах и задачах

Из геометрических соображений очевидно, что амплитудное значение этого напряжения не может быть больше U Оно равно U только тогда, когда вектор U' проходит по диаметру окружности. В этом случае четырехугольник напряжений превращается в прямоугольник, и интересующий нас сдвиг по фазе между U_ED и U_AB вдвое больше сдвига по фазе между приложенным напряжением U_AB и напряжениями на сопротивлениях R и R (рис. 15.4). Угол /2 легко находится из геометрических соображений:

tg

2

=

U_C

U_R

=

U_C

U_R

.

(2)

Рис. 15.4. Чтобы амплитуда выходного напряжения между точками E и D была равна амплитуде приложенного напряжения, вектор U' должен проходить через центр окружности

Так как в последовательно соединённых участках цепи токи одинаковы, то соотношения (2) переписываются в виде

tg

2

=

1

CR

=

1

CR

.

(3)

Из соотношения (3) вытекает, что U' равно U при выполнении условия CR=CR, а сдвиг по фазе , входящий в формулу (1), в этом случае определяется с помощью выражения для тангенса двойного угла:

tg

=

2tg(/2)

1-tg^2(/2)

=

2CR

(CR)^2-1

.

При равенстве ёмкостных и омических сопротивлений, т.е. при 1/C=R, сдвиг фаз между напряжениями U_AB и U_ED составляет /2.

Рассмотренная схема представляет собой пример простейшего фазовращателя, если использовать переменные ёмкости и сопротивления.

16. Трансформатор с сердечником.

При включении первичной обмотки трансформатора с замкнутым сердечником в сеть с напряжением U=100 В на разомкнутой вторичной обмотке, имеющей в два раза (n=2) большее число витков, напряжение U=197 В. Какое напряжение будет на разомкнутой вторичной обмотке, если воспользоваться сердечником того же размера, но из материала с магнитной проницаемостью в k=10 раз меньшей, чем в первом случае? Рассеяние магнитного потока и потери в сердечнике не учитывать.

Будем в дальнейшем, как и в условии задачи, буквами U и U обозначать амплитудные (или действующие) значения соответствующих напряжений.

Приводимое ниже решение справедливо для режима «холостого хода», когда вторичная обмотка трансформатора разомкнута. Напряжение U на разомкнутой вторичной обмотке в первом случае меньше чем nU=200 В. Поскольку рассеяния магнитного потока и потерь в сердечнике по условию задачи нет, то различие это вызвано падением напряжения на активном сопротивлении первичной обмотки. Напряжение на индуктивном сопротивлении R_L первичной обмотки опережает по фазе на /2 ток и, следовательно, напряжение на активном сопротивлении. Поэтому для полного напряжения U на первичной обмотке, как ясно из векторной диаграммы, можно написать

U

=

U

_R

^2+U

_L

^2

.

(1)

Разумеется, непосредственно измерить U_R и U_L по отдельности нельзя, так как первичная обмотка не есть последовательно соединённые индуктивность L и активное сопротивление R: каждый элемент обмотки обладает одновременно и индуктивностью, и сопротивлением. Это так называемая цепь с распределёнными параметрами. Но при расчёте можно заменить реальную обмотку на цепь с сосредоточенными параметрами - катушку индуктивности и сопротивление, соединённые последовательно, поскольку через каждый элемент исходной цепи идёт один и тот же ток.

Напряжение на индуктивном сопротивлении первичной обмотки по модулю равно ЭДС E самоиндукции возникающей в первичной обмотке, но противоположно ей по фазе. Напряжение U на разомкнутой вторичной обмотке равно возникающей в ней ЭДС индукции E. Поскольку E и E связаны соотношением E/E=n, то

U

=

nU

_L

.

(2)

Итак, напряжение на разомкнутой вторичной обмотке определяется не полным напряжением на первичной обмотке, а лишь его индуктивной составляющей. Поскольку из соотношения (1) следует, что

U_L

U

=

R_L

R_L^2+R^2

=

1

1+(R/R_L)^2

,

(3)

то

U

=

nU

1+(R/R_L)^2

.

(4)

Замена сердечника приводит к изменению индуктивного сопротивления первичной обмотки. Индуктивное сопротивление R_L пропорционально магнитной проницаемости материала сердечника, поэтому

R_L

R'_L

=

k

,

где R'_L - индуктивное сопротивление первичной обмотки после замены сердечника.

Учитывая формулу (5), с помощью выражения (4) напряжение U' на вторичной обмотке после замены сердечника можно записать в виде

U'

=

nU

1+(R/R'_L)^2

=

nU

1+(kR/R_L)^2

.

(6)

Из соотношений (2) и (3) видно, что

(R/R

_L

)^2

=

(U/U

_L

)^2

-

1

=

(nU/U)^2

-

1.

(7)

Подставляя (7) в соотношение (6), находим

U'

=

nU

1+k^2[n^2(U/U)^2-1]

.

(8)

Используя заданные в условии значения входящих в формулу (8) величин, получаем U'=100 В.

Итак, напряжение на разомкнутой вторичной обмотке оказалось равным поданному на первичную обмотку, несмотря на то что число витков во вторичной обмотке в два раза больше. Рассмотренный пример показывает значение сердечника с большой магнитной проницаемостью: для нормальной работы трансформатора необходимо, чтобы активное сопротивление R первичной обмотки было мало по сравнению с её индуктивным сопротивлением R_L(R_L).