Физика в примерах и задачах

При фиксированных параметрах цепи R, L и C и заданной амплитуде внешнего напряжения U эта формула даёт зависимость амплитуды тока в цепи от частоты приложенного напряжения . Эта зависимость имеет хорошо известный вид резонансной кривой (рис. 14.2). При низких частотах (0) наличие конденсатора практически эквивалентно разрыву в цепи и ток отсутствует. При высоких частотах (->) сопротивление конденсатора стремится к нулю, но зато неограниченно возрастает сопротивление катушки индуктивности, и ток снова стремится к нулю. Максимальное значение амплитуды тока, как видно из формулы (1), достигается на частоте при которой выражение в скобках обращается в нуль:

=

1

LC

.

(2)

В этом случае индуктивное и емкостное сопротивления равны друг другу и в цепи имеет место резонанс напряжений. При =, ток в цепи зависит только от активного сопротивления R, его амплитуда равна U/R, а сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением отсутствует.

Формула (2) давала бы ответ на вопрос задачи, если бы были известны индуктивность L и ёмкость C. Однако по условию задачи нужно выразить через частоты и , при которых амплитуда тока вдвое меньше максимальной. Из рис. 14.2 видно, что частота лежит между и , а сами и , тем ближе друг к другу, чем острее резонансная кривая.

Рис. 14.3. Уравнение (3) имеет ещё и два отрицательных корня

Для нахождения резонансной частоты поступим следующим образом. Как видно из рис. 14.2, частоты и являются корнями уравнения

U

2R

=

U

R^2+(L-1/C)^2

,

(3)

поскольку они определяются точками пересечения прямой I=U/2 и резонансной кривой (1). Отметим, что кроме имеющих физический смысл положительных корней и уравнение (3) имеет отрицательные корни - и -, так как правая часть (3) является чётной функцией переменной (рис. 14.3). Возводя (3) в квадрат, получаем

(L-1/C)^2

-

3R^2

=

0.

(4)

Умножая (4) на ^2C^2 и заменяя согласно (2) произведение LC на 1/^2, получаем

-

^2

(2+3R^2C^2^2)

^2

+

=

0.

(5)

Уравнение (5) биквадратное и, следовательно, имеет четыре корня. Столько же корней имело исходное уравнение (3). Поскольку при возведении уравнения (3) в квадрат мы не могли потерять корней, то корни уравнения (5) совпадают с корнями уравнения (3). По теореме Виета свободный член уравнения (5) равен произведению его корней: ^2^2=, откуда =.

Обратим внимание на то, что для справедливости полученного ответа нужно лишь, чтобы при частотах = и = значения тока в цепи были бы одинаковы. Совсем не обязательно, чтобы они составляли именно половину максимального значения. В самом деле, если при частотах и значения тока в n раз меньше его максимального значения, то в левой части уравнения (3) U/2R нужно заменить на U/nR. Легко убедиться, что свободный член в уравнении (5) не изменится, поэтому согласно теореме Виета по-прежнему =.

15. Фазовращатель.

Рис. 15.1. К точкам A и B подаётся синусоидальное напряжение

К точкам A и B схемы, показанной на рис. 15.1, подаётся напряжение U_AB=Ucos t. Какое напряжение существует между точками E и D? При каком условии амплитудное значение этого напряжения совпадает с U? Каким при этом будет сдвиг фаз между напряжениями U_AB и U_ED?

Для решения этой задачи удобно применить метод векторных диаграмм. При этом интересующие нас величины могут быть найдены из наглядных геометрических соображений.

Рис. 15.2. Векторная диаграмма напряжений для участка цепи AEB

Построим векторную диаграмму напряжений на всех элементах схемы. Рассмотрим участок AEB. Поскольку сопротивление R и ёмкость C соединены последовательно, то векторы, изображающие напряжения U_R и U_C перпендикулярны друг другу, а их сумма изображает приложенное напряжение U_AB При выбранном направлении вращения векторов против часовой стрелки векторная диаграмма этих напряжений показана на рис. 15.2. Опишем около прямоугольного треугольника, образованного векторами U_R, U_C и U, окружность. Гипотенуза U является диаметром этой окружности. Теперь построим векторы, изображающие напряжения U_R и U_C. Они также взаимно перпендикулярны, и их сумма равна вектору U, изображающему приложенное напряжение U_AB. Для того чтобы в дальнейшем было удобнее находить интересующее нас напряжение между точками E и D, будем при построении векторной диаграммы учитывать последовательность соединения элементов C и R в каждом плече схемы. Полная векторная диаграмма напряжений изображена на рис. 15.3. Теперь легко сообразить, что напряжение между точками E и D, т.е. разность напряжений U_R и U_C, изобразится вектором U', который расположен по другой диагонали четырехугольника напряжений. Его направление определяется тем, что мы назовём напряжением между точками E и D: разность U_R-U_C или U_C-U_R. Указанное на рис. 15.3 направление этого вектора соответствует первой возможности. Тогда мгновенное значение напряжения U_ED будет описываться выражением

U

_ED

=

U'

cos(t+)

,

(1)

где угол (рис. 15.3) может изменяться от 0 до .

Рис. 15.3. Напряжение U_R-U_C между точками E и D изображается вектором U'