Читаем Физика в примерах и задачах полностью

Физика в примерах и задачах

Александр Александрович Быков , Александр Сергеевич Кондратьев , Е. И. Бутиков

В рассматриваемой последовательной цепи сумма напряжений на сопротивлении U_R и конденсаторе U_C равна приложенному напряжению U. Так как напряжение на сопротивлении U_R равно произведению тока I на сопротивление R, то

(2)

Подставляя сюда значение тока I через скорость изменения заряда конденсатора из уравнения (1) и учитывая, что напряжение U_C на конденсаторе в любой момент равно q/C, получаем

(3)

Это дифференциальное уравнение для функции q(t) определяет зависимость заряда конденсатора от времени. Его удобно переписать в несколько ином виде, учитывая, что приложенное напряжение U равно отношению окончательного заряда конденсатора q к его ёмкости C: U=q/C. Тогда вместо (3) получим

q-q

(4)

Это уравнение легко привести к хорошо известному виду, если вместо заряда пластины q ввести другую неизвестную величину Q, характеризующую, насколько заряд пластины в данный момент q отличается от окончательного заряда q:

q-q

(5)

Из определения (5) следует, что dq/dt=-dQ/dt. Поэтому уравнение (4) после замены (5) принимает вид

(6)

Уравнение (6) означает, что скорость изменения недостающего заряда Q пропорциональна самому, значению Q. Решением такого уравнения является экспоненциальная функция

Q(t)

A exp

(7)

Постоянную A можно найти из начальных условий. Так как в начальный момент времени t=0 конденсатор не заряжен (q=0), то, как видно из формулы (5), недостающий заряд Q при этом равен q. Таким образом, постоянная A в уравнении (7) равна окончательному заряду конденсатора q.

Рис. 13.3. График изменения заряда конденсатора

График зависимости Q(t) показан штриховой линией на рис. 13.3. Из формулы (7) видно, что произведение RC равно тому промежутку времени , в течение которого значение Q(t) уменьшается в e раз:

(8)

Зависимость заряда конденсатора q от времени для рассматриваемого процесса получается из формулы (5) после подстановки в неё выражения для Q(t) из (7):

q(t)

{1-exp(-t/)}

(9)

График q(t), показанный на рис. 13.3, можно построить как разность между постоянным значением окончательного заряда q и графиком зависимости Q(t). Найденная зависимость заряда конденсатора от времени (9) позволяет легко найти ток в цепи при зарядке конденсатора в любой момент времени. Так как согласно формуле (1) ток есть производная dq/dt, то с помощью (9) находим

I(t)

exp

(10)

При зарядке конденсатора ток максимален в начальный момент (при замыкании ключа) и в дальнейшем экспоненциально убывает со временем. Его график имеет такой же вид, как и график Q(t) на рис. 13.3.

Рис. 13.4. При таком выборе направления тока его значение I связано с зарядом верхней пластины q соотношением I=-dq/dt

Совершенно аналогично можно рассмотреть процессы при разрядке конденсатора через сопротивление. Пусть в начальный момент времени конденсатор ёмкости C заряжен до напряжения U, т.е. имеет заряд q=CU. При замыкании ключа в цепи возникает ток, который убывает номере разряда конденсатора (рис. 13.4). Если по-прежнему под q понимать заряд верхней пластины конденсатора, то выбранному на рис. 13.4 направлению тока соответствует выражение

(11)

так как при положительном значении тока I заряд верхней пластины убывает, т.е. dq/dt0. Поскольку в любой момент времени напряжение на конденсаторе U_C=q/C равно напряжению на сопротивлении U_R=IR, то с помощью выражения (11) имеем

(12)

Соответствующее нашим начальным условиям решение этого уравнения имеет вид

q(t)

exp

(13)

поскольку при t=0 заряд конденсатора равен q.

Такой же экспоненциальный характер имеет и зависимость от времени тока в цепи при разряде конденсатора:

I(t)

exp

(14)

Как видно из полученных решений, и процесс зарядки конденсатора, и процесс разрядки, строго говоря, продолжаются бесконечно долго. Но, как и во всех подобных процессах, временная зависимость которых описывается экспонентой с отрицательным показателем, основное изменение рассматриваемой величины (в данном случае - заряда конденсатора или тока в цепи) происходит за конечный промежуток времени, и лишь остающееся сравнительно небольшое её изменение требует бесконечного времени. Параметром, характеризующим длительность такого процесса, является величина

За промежуток времени рассматриваемая величина изменяется в e2,72 раза.

Если интересоваться временем, в течение которого произойдёт изменение в любое (сколь угодно большое, но конечное) число раз, то это время будет отличаться от только числовым множителем (и при этом сравнительно небольшим). Например, время, по прошествии которого на пластинах разряжающегося конденсатора останется только одна тысячная часть первоначального заряда, равно x3 ln 107.

В любой реальной системе переходный процесс продолжается в течение конечного (а не бесконечно большого) промежутка времени, так как говорить о таком процессе имеет смысл только до тех пор, пока рассматриваемая величина не уменьшится до значения, соответствующего уровню тепловых флуктуаций в системе.

Перейти на страницу: