Физика в примерах и задачах

Прежде всего отметим, что при переключении полярности одного из элементов внутреннее сопротивление всей батареи остаётся прежним, а измениться может только её ЭДС. Эти качественные соображения, разумеется, подтверждаются формулой (6), из которой сразу видно значение ЭДС получившейся батареи: E'=E(1-2n). Задача теперь заключается в том, чтобы независимо от приведённого решения найти ЭДС батареи с одним неправильно включённым элементом.

Рис. 9.2. Эквивалентная схема батареи из n элементов, изображённой на рис. 9.1

Заменим все n-1 «правильно» включённых элементов одним с ЭДС E и внутренним сопротивлением r/(n-1). Тогда эквивалентная схема всей батареи принимает вид, показанный на рис. 9.2. Поскольку ЭДС батареи равна напряжению на разомкнутых полюсах A и B, то остаётся только найти напряжение между точками A и B в схеме на рис. 9.2. Это напряжение можно записать в виде

E'

=

U

_AB

=

E

-

Ir

n-1

,

(8)

где ток I, циркулирующий в цепи, представленной на рис. 9.2, равен

I

=

2E

r+r(n-1)

.

(9)

Подставляя I из (9) в формулу (8), получаем

E'

=

E

(1-2/n)

.

(10)

Поскольку при переключении полярности одного из элементов полное сопротивление цепи с нагрузкой не меняется, то ток в нагрузке изменяется во столько же раз, во сколько изменяется ЭДС. Естественно, что и второй способ решения приводит к тому же результату.

10. Электродвигатель постоянного тока.

Электродвигатель, якорь которого имеет сопротивление R, включён в сеть постоянного тока с напряжением U. При этом груз массой m поднимается со скоростью v_^ посредством невесомой нити, намотанной на ось двигателя. С какой скоростью v_V будет опускаться этот же груз, если во внешней цепи произойдёт замыкание, в результате которого обмотка якоря окажется закороченной? Якорь электродвигателя находится в магнитном поле, создаваемом постоянным магнитом. Трением в подшипниках пренебречь.

Прежде всего подумаем, почему вообще устанавливается какая-то определённая скорость спуска. Ведь если просто отключить двигатель от сети, то при отсутствии трения в подшипниках груз будет раскручивать якорь и опускаться равноускоренно. Ускорение, конечно, будет меньше ускорения свободного падения, если якорь двигателя обладает заметным моментом инерции. Двигатель, как мы видим, здесь вообще ни при чем, его якорь - это просто раскручиваемый опускающимся грузом маховик. Однако в рассматриваемом в задаче случае электрическая цепь оказывается замкнутой, но так, что напряжение на двигатель не подаётся, и в результате при опускании груза он работает как замкнутый накоротко генератор постоянного тока. При вращении якоря в магнитном поле в его обмотке идёт ток. Скорость опускания груза теперь будет увеличиваться только до тех пор, пока действующий на якорь двигателя со стороны груза механический момент не будет уравновешен моментом сил, действующих на якорь с током со стороны магнитного поля индуктора.

Так как момент механических сил, действующих на якорь, одинаков как при равномерном подъёме, так и при равномерном спуске (груз один и тот же), а магнитное поле индуктора считается постоянным (по условию задачи оно создаётся постоянным магнитом), то и ток в цепи якоря будет одинаковым при установившихся подъёме и спуске, поскольку сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, пропорциональна току. Обозначим ток в якоре при установившемся движении через I. Найти его можно, воспользовавшись законом сохранения энергии при подъёме груза: потребляемая от сети мощность IU идёт на нагревание обмотки якоря и на подъём груза. Обозначая механическую мощность, развиваемую двигателем, через P_м, можем написать

IU

=

I^2R

+

P

_м

.

(1)

Решая это уравнение, находим

I

=

U

2R

±

U^2

4R^2

-

P_м

R

1/2

.

(2)

Почему же получилось два значения тока? В условии задачи заданы масса груза и скорость его подъёма, т.е. фактически задана механическая мощность, развиваемая двигателем:

P

_м

=

mgv

_^

.

(3)

Рис. 10.1. Зависимость развиваемой электродвигателем механической мощности от величины тока

Но одну и ту же механическую мощность, меньшую максимальной, которую может развить двигатель при заданном напряжении U, можно получить при двух значениях тока в якоре. В самом деле, построим с помощью формулы (1) график зависимости механической мощности P_м от силы тока в якоре двигателя (рис. 10.1). Этот график представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз и пересекают ось абсцисс в точках I=0 и I=U/R. Первая точка соответствует режиму холостого хода, т.е. вращению якоря мотора без внешней механической нагрузки. При этом ЭДС индукции в обмотке якоря компенсирует приложенное напряжение U, и ток отсутствует. Вторая точка (I=U/R) соответствует заторможенному внешним усилием невращающемуся якорю, когда ЭДС индукции в его обмотке отсутствует. При этом механическая мощность двигателя, очевидно, равна нулю, и вся потребляемая от сети мощность идёт на нагревание обмотки якоря. Вершина параболы соответствует максимальной механической мощности двигателя, которая, как нетрудно убедиться, равна U^2/4R.