Физика в примерах и задачах

Обратим внимание на то, что применённый нами формальный путь решения задачи с помощью правил Кирхгофа: позволяет получить верный ответ, не вникая в физический смысл полученного результата. В самом деле, мы пока не можем ответить на вопрос, почему увеличение сопротивления нагрузки приводит к появлению тока I именно в указанном направлении. Попытка ответить на подобный вопрос приведёт нас к другому, менее формальному способу решения задачи. Прежде всего заметим, что при отсутствии тока через второй источник ток существует только в одной неразветвлённой цепи, содержащей ЭДС E и сопротивление нагрузки R (рис. 8.3). Второй источник при этом можно отключить, и в оставшейся цепи ничего не изменится. Силу тока I можно найти на основании закона Ома для неразветвлённой цепи:

I

=

E

R+r

.

(6)

С другой стороны, при отсутствии тока через второй источник напряжение U на его зажимах равно ЭДС этого источника E. Поэтому, используя закон Ома для однородного участка цепи, содержащего нагрузку R, имеем

I

=

U

R

=

E

R

.

(7)

Приравнивая правые части формул (6) и (7), получаем для сопротивления нагрузки R, при котором ток через источник с ЭДС E не идёт, прежнее выражение (4). Это выражение имеет смысл только при EE, что естественно, так как напряжение U на зажимах работающего первого источника всегда меньше его ЭДС E.

Рассмотрим теперь, как будет меняться напряжение между точками A и B при изменении сопротивления R, если второй источник отсутствует. При уменьшении R ток в цепи возрастает и, следовательно, напряжение на зажимах источника с ЭДС E (т.е. между точками A и B) уменьшается. Это напряжение становится меньше ЭДС E, поэтому при подключении второго источника ток через него пойдёт так, как показано на рис. 8.2. В этом случае второй источник будет работать нормально, т.е. отдавать энергию во внешнюю цепь, и эта энергия будет выделяться на нагрузке.

Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что при увеличении сопротивления нагрузки напряжение между точками A и B увеличивается, т.е. становится больше E. Поэтому при подключении второго источника ток через него пойдёт в направлении, противоположном указанному на рис. 8.2. В этом случае второй источник не отдаёт энергию во внешнюю цепь, а сам потребляет энергию от первого источника.

Таким образом, при параллельном соединении источников тока с разными ЭДС существует предельное значение сопротивления нагрузки, определяемое формулой (4). Если сопротивление нагрузки окажется больше предельного, то использование второго источника вообще нецелесообразно: его подключение приводит к уменьшению тока через нагрузку.

9. Батарея из одинаковых элементов.

Некоторое число n одинаковых источников тока с ЭДС E и внутренним сопротивлением r соединены параллельно и подключены к внешней нагрузке. Во сколько раз уменьшится ток в нагрузке, если один из элементов, образующих батарею, по ошибке включить в противоположной полярности (рис. 9.1)?

Рис. 9.1. Батарея из одинаковых элементов

Когда все источники тока соединены правильно, ЭДС батареи равна ЭДС одного элемента E, а внутреннее сопротивление равно r/n. Поэтому ток через нагрузку сопротивлением R определяется выражением

I

=

E

R+r/n

.

(1)

Этот результат получается сразу, если учесть симметрию рассматриваемой схемы: все источники тока находятся в одинаковых условиях, следовательно, токи в них одинаковы и в n раз меньше тока в нагрузке. Если же переключить полярность одного из источников (рис. 9.1), то симметрия пропадает и, вообще говоря, возникает необходимость в применении правил расчёта разветвлённых цепей. Однако в данном случае можно не действовать по стандартным рецептам, а просто выразить напряжение U_AB между точками A и B (рис. 9.1) как разность между ЭДС источника тока и напряжением внутри него для «правильно» и «неправильно» включённых элементов:

E

-

Ir

=-

[E-Ir]

.

(2)

Ответвляющийся в нагрузку ток I' равен сумме токов в «правильно» включённых элементах (n-1)I за вычетом тока I через «неправильно» включённый элемент:

I'

=

(n-1)I

-

I

.

(3)

Выражая отсюда I и подставляя в (2), приходим к равенству

Inr

-

I'r

=

2E

.

(4)

С другой стороны, напряжение между точками A и B - это напряжение на нагрузке R, поэтому

E

-

Ir

=

I'R

.

(5)

Решая систему уравнений (4) и (5), получаем

I'

=

E

R+r/n

(1-2/n)

.

(6)

Сравнивая (6) с (1), находим

I'

I

=

1-2/n

(7)

В частности, при n=2 ток I'=0, что очевидно из элементарных соображений; при n=4 ток в нагрузке уменьшается вдвое.

Замечательно, что полученный результат (7) не зависит ни от ЭДС отдельных элементов и их внутренних сопротивлений, ни от сопротивления нагрузки. Это наводит на мысль, что должен существовать другой, более простой способ решения задачи.