Читаем Физика в примерах и задачах полностью

Физика в примерах и задачах

Александр Александрович Быков , Александр Сергеевич Кондратьев , Е. И. Бутиков

Рис. 10.2. Одна и та же механическая мощность P_м=mgv_^ может быть получена при двух значениях угловой скорости якоря

Из рис. 10.1 видно, что любое значение механической мощности P_м=mgv_^, меньшее U^2/4R, можно получить при двух значениях тока I и I. Каждому из этих значений тока соответствует определённое значение момента внешней силы, действующей на якорь двигателя. Поскольку эта сила равна силе тяжести mg, действующей на поднимаемый груз, то каждому значению механического момента соответствует определённый радиус оси, на которую наматывается нить (рис. 10.2а соответствует меньшему значению механического момента и, следовательно, току I рис. 10.2б - току I). В первом случае та же самая механическая мощность двигателя P_м=mgv_^ получается при меньшем радиусе и большей угловой скорости вращения якоря, чем во втором случае. Первый случай, очевидно, соответствует более высокому КПД мотора. Хотя данных задачи, строго говоря, недостаточно для того, чтобы отдать предпочтение тому или другому значению тока, но если предположить, что при подъёме груза двигатель работал в «правильном» режиме, то из корней I и I, следует выбрать меньший.

Как мы выяснили, такой же ток будет протекать в обмотке якоря и при установившемся спуске груза. Воспользуемся законом сохранения энергии. Поскольку теперь мотор представляет собой замкнутый накоротко генератор постоянного тока, убыль потенциальной энергии груза равна количеству теплоты, выделяющегося в обмотке якоря:

mgv

I^2R

(4)

Значение установившейся скорости спуска v_V получается отсюда после подстановки значения силы тока I из формулы (2), в которой механическая мощность P_м, развиваемая мотором при подъёме груза, подставлена из соотношения (3):

I^2R

U^2

4mgR

4mgRv_^

U^2

1/2

(5)

Любопытно отметить, что сумма скоростей подъёма и спуска равна скорости холостого хода v, т.е. скорости подъёма нити без груза.

Чтобы убедиться в этом, вспомним, что возникающая в обмотке якоря ЭДС индукции E пропорциональна скорости вращения якоря, т.е. скорости движения нити v, намотанной на ось:

(6)

Используя выражение (6), запишем уравнения закона Ома для трёх режимов работы двигателя - при подъёме груза, при спуске груза с короткозамкнутым якорем и на холостом ходу:

(7)

Вычитая второе и третье уравнения из первого, получаем

(8)

11. Конденсаторы в цепи с током.

Рассмотрим схему, показанную на рис. 11.1. К входным клеммам приложено постоянное напряжение U. Определить напряжения на конденсаторах, рассматривая четыре возможных положения ключей K и K. 1) оба ключа разомкнуты; 2) ключ K замкнут, K разомкнут; 3) оба ключа замкнуты; 4) ключ K разомкнут, K - замкнут.

Рис. 11.1. Напряжения на конденсаторах C и C зависят от положения ключей K и K

Проанализируем последовательно все четыре случая.

1. Когда оба ключа разомкнуты, никакого тока ни в одном участке цепи нет. Задача в этом случае чисто электростатическая: два последовательно соединённых конденсатора подключены к источнику постоянного напряжения U. Поэтому напряжения на конденсаторах U и U в этом случае определяются из системы уравнений

(1)

Первое из этих уравнений очевидно, а второе отражает равенство зарядов последовательно соединённых конденсаторов. Решая систему (1), находим

C+C

(2)

Рис. 11.2. Такой вид принимает схема, когда ключ K замкнут, а K разомкнут

2. Во втором случае, когда ключ K замкнут, а K разомкнут, схема принимает вид, показанный на рис. 11.2. В такой цепи через последовательно соединённые сопротивления R и R идёт ток, а для конденсаторов всё остаётся так же, как и в первом случае, так как напряжение U по условию неизменно. Другими словами, в такой схеме последовательные цепочки конденсаторов и сопротивлений независимо, параллельно друг другу подключены к сети с постоянным напряжением U.

Если напряжение U не поддерживается неизменным, а источник представляет собой, например, аккумулятор с ЭДС E и внутренним сопротивлением r, то подключение цепочки сопротивлений R и R и возникновение тока I=E/(R+R+r) приводят к уменьшению напряжения, приложенного к цепочке конденсаторов. В этом случае оно будет равно не ЭДС источника, а

I(R+R)

E(R+R)

R+R+r

(3)

Формулы (2) для напряжений на конденсаторах остаются в силе, только под U следует понимать величину, даваемую соотношением (3).

Рис. 11.3. Когда оба ключа замкнуты, каждый конденсатор соединён параллельно со «своим» сопротивлением

3. Когда оба ключа замкнуты, конденсаторы нельзя считать соединёнными последовательно. Действительно, в этом случае схему можно представлять так, как показано на рис. 11.3. Каждый конденсатор соединён параллельно со «своим» сопротивлением, и поэтому заряды конденсаторов уже не равны друг другу. Напряжение на каждом конденсаторе равно напряжению на соответствующем сопротивлении. Так как сопротивления R и R соединены между собой последовательно, ток через них одинаков и напряжения U и U удовлетворяют системе уравнений: