Физика в примерах и задачах

Рис. 20.2. При появлении индукционного тока I возникает сила Ампера F

Но всё изменится, как только нижняя сторона рамки выйдет за пределы полюсов магнита, т.е. области, где существует магнитное поле (рис. 20.2). Теперь при движении рамки пронизывающий её магнитный поток убывает и в рамке течёт индукционный ток. В результате на верхнюю горизонтальную сторону рамки, находящуюся в магнитном поле, действует сила Ампера F. Эта сила, в соответствии с правилом Ленца для индукционного тока, направлена вверх, т.е. стремится уменьшить внешнее воздействие, приводящее к появлению индукционного тока. Ускорение рамки уже не будет равно g. Силы Ампера, действующие на боковые (вертикальные) стороны рамки, направлены в противоположные стороны и не оказывают влияния на её движение.

Поскольку действующая на верхнюю сторону рамки сила Ампера F равна IBl (l - длина этой стороны), то уравнение второго закона Ньютона для падающей рамки имеет вид

mdv

dt

=

mg

-

IBl

.

(1)

Здесь m - масса рамки. Индукционный ток I зависит от сопротивления рамки R и ЭДС индукции E_i. ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока через рамку:

E

_i

=

Blv

,

(2)

поэтому

I

=

Blv

R

.

(3)

Подставляя индукционный ток (3) в уравнение второго закона Ньютона (1), получаем

dv

dt

=

g

-

B^2l^2

mR

v

.

(4)

Если к тому моменту, когда нижняя сторона рамки выходит из магнитного поля, скорость рамки невелика, так что первое слагаемое в правой части (4) больше второго, то рамка продолжает разгоняться, хотя и с меньшим ускорением. Если же рамка уже разогналась настолько, что второе слагаемое больше первого, то она начинает тормозиться.

Уравнение (4) имеет такой же вид, как и уравнение, описывающее разгон корабля под действием постоянной тяги винтов при учёте силы сопротивления, пропорциональной скорости корабля (см., например, задачу 9 раздела «Механика жидкостей»). Точно такое же уравнение описывает и процесс падения тяжёлого шарика в вязкой жидкости. Во всех случаях скорость тела изменяется до тех пор, пока сила сопротивления не сравняется по модулю с постоянной внешней силой.

Это значение скорости v соответствующее установившемуся движению, легко найти с помощью (4), даже не решая этого дифференциального уравнения. При установившемся движении dv/dt=0, и для скорости v, приравнивая нулю правую часть (4), получаем

v

=

mgR

B^2l^2

.

(5)

Скорость установившегося падения v можно найти и из энергетических соображений, не прибегая к уравнениям движения. При падении рамки с постоянной скоростью её кинетическая энергия остаётся неизменной, потенциальная энергия уменьшается, и поэтому выделяющаяся в рамке джоулева теплота равна убыли её потенциальной энергии в поле тяжести:

I^2R

=

mgv

.

(6)

Подставляя сюда значение индукционного тока I из формулы (3), приходим к прежнему значению v, выраженному формулой (5).

Сколько времени происходит процесс установления? Успеет ли рамка приобрести значение скорости v, пока её верхняя сторона всё ещё находится в магнитном поле? Чтобы ответить на эти вопросы, нужно решить уравнение (4). С решением уравнения такого вида мы уже встречались в задаче 13, где речь шла о процессе зарядки конденсатора. Прежде всего, учитывая соотношение (5), перепишем уравнение (4) в более удобном виде:

dv

dt

=-

v-v

,

(7)

где использовано обозначение

=

mgR

B^2l^2

.

(8)

Так как производные по времени от v и (v-v) совпадают, то уравнение (7) говорит о том, что скорость изменения величины v-v пропорциональна самой этой величине. Поэтому решение уравнения (7) имеет вид

v-v

=

C exp(-t/)

.

(9)

Из формулы (9) видно, что значение постоянной C равно отличию начальной скорости v=v при t=0 от скорости установившегося движения рамки v: C=v-v Видно также, что отличие мгновенной скорости от установившейся v-v затухает со временем экспоненциально с характерным временем , определяемым соотношением (8).

Таким образом, зависимость скорости от времени с того момента, как на рамку начинает действовать сила Ампера, согласно выражению (9) имеет вид

v(t)

=

(v-v)

exp (-t/)

+

v

.

(10)

Это выражение для скорости справедливо, разумеется, только до того момента, пока верхняя сторона рамки не выйдет за пределы магнитного поля (рис. 20.2).

Рис. 20.3. Скорость рамки стремится к определённому значению v независимо от величины начальной скорости v

Графики скорости рамки показаны на рис. 20.3. Верхний график соответствует случаю, когда к моменту появления силы Ампера (t=0) скорость рамки v меньше предельного значения v. Нижний график - случаю, когда vv. Наклонные прямолинейные участки графиков при t0 соответствуют свободному падению рамки до появления силы Ампера. Расстояние, которое проходит рамка за характерное время установления , равно площади, за штрихованной на этих графиках. Для оценки можно считать, что по порядку величины эта площадь равна v. Если длина вертикальной стороны рамки l много меньше этого расстояния v, то ни о каком установлении скорости рамки говорить не приходится. Для установления скорости необходимо выполнение неравенства

l

v

=

g

mR

B^2l^2

^2

.

(11)