Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Это просто забавное развлечение; во всяком случае, так казалось команде из Нидерландов. Однако примерно в 1983 году последовательность «посмотри и скажи» попалась на глаза Джону Конвею, для которого превращение развлечения в математику (и обратно) было образом жизни. Конвей доказал, что[441] последовательность «посмотри и скажи» никогда не будет содержать цифр больше 3, а ее долгосрочное поведение управляется поведением 92 особых цепочек цифр, которые Конвей окрестил атомами и назвал в честь химических элементов (например, 1113213211 – это гафний, за которым следует олово). Более того, само количество цифр в членах последовательности тоже ведет себя вполне предсказуемо. Выписанные выше члены последовательности «посмотри и скажи» имеют такую длину:

1, 2, 2, 4, 6, 6, 8, 10, 14, 20…

Было бы очень красиво, если бы это была геометрическая прогрессия, но это не так. Отношение каждого последующего члена к предыдущему равно:

2, 1, 2, 1,5, 1, 1,33333…, 1,25, 1,4, 1,42857…

Но по мере дальнейшего продвижения начинает вырисовываться какая-то регулярность. Сорок седьмое, сорок восьмое и сорок девятое числа имеют соответственно 403 966, 526 646 и 686 646 цифр. Второе число в 1,3037 раз больше первого. Третье в 1,3038 больше второго. Похоже, что отношение соседних чисел стабилизируется. Изобретательно манипулируя своими 92 атомами, подвергавшимися тому, что он назвал аудиоактивным распадом, Конвей доказал, что эти отношения действительно сходятся к некоторой константе, которую математик точно вычислил[442]. Длины чисел из последовательности «посмотри и скажи» не образуют геометрическую прогрессию, но образуют прогрессию, которая со временем все больше и больше сходится к геометрической.

Геометрические прогрессии элегантны и первозданны. Но в реальном мире они редкость. Чаще встречаются приблизительно геометрические прогрессии, такие как «посмотри и скажи». Они знакомят нас с крайне важным математическим понятием под названием собственное значение. Мы не можем избежать собственных значений, если, например, хотим сделать модели распространения болезней Росса – Хадсон хотя бы немного реалистичными.

ДАКОТА И ДАКОТА

Теория событий Росса и Хадсон применительно к болезням основана на выявлении доли населения, зараженного в данный момент. Это уже создает определенную двусмысленность. О каком населении идет речь? Ваш район? Ваш город? Страна? Весь мир?

Вы можете убедиться, что это действительно важно, выполнив простое упражнение на сложение. Предположим, что на Великих равнинах[443] бушует какая-то новая болезнь – Страшный и Ужасный грипп (СИУ). Допустим, что в Северной Дакоте число случаев утраивается каждую неделю, а в соседней Южной Дакоте по каким-то причинам только удваивается. Числа для Северной Дакоты могут выглядеть так:

10, 30, 90, 270,

а для Южной Дакоты – так:

30, 60, 120, 240.

Тогда общее число случаев заболевания, если бы обе Дакоты были одним штатом, составило:

40, 90, 210, 510,

что вообще не является геометрической прогрессией: отношения между ее последовательными членами равны 2,25, 2,33, 2,43. Если вы рассматриваете статистику по Дакотам как по единому целому, то можете решить, что какая-то зловещая сила делает вирус с каждой новой неделей все более заразным. И начнете волноваться. Прекратится ли когда-нибудь этот рост?

Не волнуйтесь. Число случаев растет не в геометрической прогрессии, а приблизительно так, как в последовательности «посмотри и скажи». За четыре рассмотренные недели количество инфицированных распределилось между Дакотами примерно поровну. Однако ненадолго. Следующие четыре недели принесут Северной Дакоте много заболевших:

810, 2430, 7290, 21 870,

а в Южной Дакоте будет всего лишь:

480, 960, 1920, 3840.

Общее количество случаев заболеваний в обеих Дакотах за восьмую неделю составило 25 710, то есть в 2,79 раза больше, чем за седьмую (9210). Это отношение уже довольно близко к 3 и далее будет только приближаться к этому числу. Более быстрый рост в Северной Дакоте полностью затмевает рост в Южной. Через десять недель после начала эпидемии почти 95 % всех случаев будут зафиксированы именно там. В какой-то момент вы сможете просто игнорировать Южную Дакоту: практически все заболевшие будут концентрироваться в Северной, утраиваясь каждую неделю.