Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Где-то по пути отношение перестало быть драгоценным камнем и стало золотым; в одном тексте 1717 года говорится, что «древние называли[447] это отношение золотым». (Нет никаких подтверждений, что кто-то из древних на самом деле использовал такое название, однако присваивание вашей выдумке некоторой традиции добавляет ей немного культурной привлекательности.) Золотой прямоугольник – это прямоугольник, длина которого в φ раз больше ширины; у него есть приятная особенность: если вы разрежете его поперек, чтобы одна из частей была квадратом, то другая снова окажется золотым прямоугольником (меньшего размера). При желании вы можете отрезать квадрат и от него, получив еще меньший, и так далее, строя целую спираль из квадратов.

Кеплер ценил золотое сечение как за геометрические, так и за арифметические свойства; он открыл последовательность Вираханки – Фибоначчи независимо и обнаружил, что отношения между ее последовательными членами стремятся к золотому сечению. Взаимоотношения между геометрией и арифметикой в этой последовательности становятся заметны, если нарисовать почти золотой прямоугольник, длина и ширина которого – два последовательных числа Фибоначчи, как в этом примере 8 × 13:

Он почти золотой: отрежьте квадрат, и получите прямоугольник 5 × 8; снова отрежьте квадрат, и останется 3 × 5. С каждым разрезом вы двигаетесь назад по последовательности Фибоначчи. В итоге вы доберетесь до нуля, и ваша спираль из квадратов закончится, а не будет продолжаться вечно.

Мое любимое свойство золотого сечения привлекает относительно немного внимания, так что у меня есть шанс известить вас о нем! Причина, по которой я вынужден писать φ = 1,618… с раздражающим многоточием, – то, что это число иррациональное; вы не можете выразить его в виде отношения двух целых чисел, а это означает, что вы не можете записать золотое сечение в виде конечной десятичной дроби или даже периодической десятичной дроби вроде ¹/₇ = 0,142857142857142857…

Но это не значит, что нет рациональных чисел, достаточно близких к нему. Конечно же, они есть! В конце концов, десятичное разложение числа – это способ записать дроби, близкие к нему:

¹⁶/₁₀ = 1,6 (довольно близко);

¹⁶¹/₁₀₀ = 1,61 (ближе);

¹⁶¹⁸/₁₀₀₀ = 1,618 (еще ближе).

Десятичное разложение дает вам дробь со знаменателем 1000, которая отличается от золотого сечения не более чем на ¹/₁₀₀₀[448]; если взять дробь со знаменателем 10 000, то мы получим точность в пределах ¹/_10 000 и так далее.

Однако есть способ лучше, чем применение десятичных дробей! Вспомните, что отношения между соседними числами Фибоначчи – это тоже дроби, которые стремятся к золотому сечению:

⁸/₅ = 1,6;

¹³/₈ = 1,625;

²¹/₁₃ ≈ 1,615.

Забравшись далеко в последовательности, вы получите число

²³³/₁₄₄ = 1,6180555555…

которое всего лишь на ²/_100 000 отличается от золотого сечения, и это существенно лучше, чем ¹⁶¹⁸/₁₀₀₀, хотя знаменатель 144 нашей дроби и меньше 1000. По сути, разница меньше сотой часть дроби ¹/₁₄₄.

Некоторые знаменитые иррациональные числа можно аппроксимировать еще точнее. Цзу Чунчжи, астроном V века[449] из Нанкина, заметил, что простая дробь ³⁵⁵/₁₁₃ невероятно близка к π – с точностью до двух десятимиллионных. Ученый назвал это число «милю» – «очень близкое отношение». Книга Цзу с математическими методами утеряна, а потому мы не знаем, как он придумал это приближение. Однако это не самая очевидная вещь: пройдет еще тысяча лет, прежде чем такое приближение заново откроют в Индии, еще через сто оно станет известно в Европе, и еще через столетие будет окончательно доказано, что на самом деле π иррационально.

Насколько точно можно приближать иррациональные числа к рациональным? Это арифметическая задача, но лучше всего думать о ней геометрически. Для этого есть изумительный трюк, придуманный в начале XIX века немецким математиком Петером Густавом Лежён Дирихле. Мы нашли дробь ²³³/₁₄₄, расстояние от которой до числа φ составляет меньше сотой доли от 144. Можно ли найти какую-нибудь дробь ^p/_q, расстояние от которой до числа φ будет составлять менее тысячной доли от знаменателя q? Можно, и доказательство Дирихле для этого факта настолько простое, что я не могу вам его не показать[450]. Нарисуйте отрезок числовой прямой от 0 до 1 и разделите его на тысячу равных частей-отделений. Я не могу нарисовать тысячу равных частей, так что просто вообразите их.

Теперь начинаем выписывать кратные для числа φ:

φ = 1,618…

и отмечать на числовой прямой дробную часть каждого из этих чисел – ту часть, которая идет после десятичной запятой. Если я нарисую дробные части первых трехсот кратных для числа φ в виде вертикальных линий ради лучшей заметности, то у меня получится своеобразный штрихкод.