Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Две Дакоты – напоминание, что в борьбе с пандемиями нужно думать не только о времени, но и о пространстве. В базовой SIR-модели любые два человека в популяции встречаются и смешивают выдохи с равной вероятностью. Мы знаем, что это не совсем так. Жители Южной Дакоты в основном встречаются с другими жителями Южной Дакоты, а северодакотцы – с северодакотцами. Именно поэтому скорость распространения инфекции может быть разной в разных штатах и даже в разных местностях одного штата. Равномерное перемешивание населения привело бы к выравниванию динамики болезни, подобно тому как смешивание горячей и холодной воды быстро дает теплую воду.

Вот более сложный сценарий для Дакот. Предположим, что в Южной Дакоте идеально соблюдают правила социального дистанцирования, то есть между двумя жителями штата никогда не происходит случаев передачи инфекции. Тем временем в Северной Дакоте все общаются, дышат общим воздухом и в целом игнорируют правила. Каждый инфицированный житель Северной Дакоты передает вирус одному жителю штата. Более того, северодакотцы любят пересекать границу, встречаться с людьми, и при этом каждый инфицированный северодакотец передает вирус одному южнодакотцу, а каждый инфицированный южнодакотец – одному северодакотцу.

Уловили? Если нет (или даже если да), давайте посмотрим, как это работает, если сначала у нас есть один северодакотец с СИУ, а в Южной Дакоте больных нет.

На следующей неделе он заразит одного жителя штата Сада мира[444] и одного южнодакотца, в то время как в Южной Дакоте, где зараженных не было, новых инфекций нет. Чтобы упростить ситуацию, будем считать, что больные гриппом выздоравливают после заразной недели, так что в конце недели больными будут только новые инфицированные: в нашем случае это один северо- и один южнодакотец.

На следующей неделе этот северодакотец заразит двух человек – одного в Северной Дакоте, а другого – в Южной, в то время как южнодакотец заразит только приблизившегося северодакотца, так что мы получим:

Со временем инфекция распространяется все шире. Несколько следующих недель дадут нам:

Не слышите ли вы отголоски поэзии на санскрите? Количество зараженных северодакотцев в зависимости от недели:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

это (вуаля!) числа Вираханки – Фибоначчи. То же самое и с числом больных в Южной Дакоте, просто со сдвигом на неделю. Это обеспечивают выбранные нами правила передачи вируса Страшного и Ужасного гриппа: каждую неделю количество южнодакотцев с СИУ – это число инфицированных северодакотцев на прошлой неделе, а число северодакотцев с СИУ – это сумма количеств зараженных северодакотцев и южнодакотцев на прошлой неделе, которая равна сумме числа заболевших северодакотцев на прошлой неделе и числа заболевших северодакотцев на позапрошлой неделе.

Последовательность Фибоначчи – не геометрическая прогрессия, отношение между ее членами меняется:

1, 2, 1,5, 1,666…

Хотя на самом деле это своего рода геометрическая прогрессия! Особенно если мы продолжим ее еще на несколько членов. Двенадцатое число Фибоначчи – 144, тринадцатое – 233, а четырнадцатое – их сумма, то есть 377. Отношение 233 / 144 ≈ 1,61806. Следующее отношение 377 / 233 ≈ 1,61803. Эти числа весьма близки. А если вы проследите за распространением инфекции еще несколько недель, то увидите, что отношения между соседними неделями все больше приближаются к общему числу, очень близкому к 1,618034. Мы снова сталкиваемся с явлением не точного, но почти экспоненциального роста. Что это за загадочное число, которое скрыто в последовательности чисел Фибоначчи?

Это не просто число. Это число с причудливым названием золотое сечение, оно же золотая пропорция, оно же божественная пропорция, оно же φ (греческая буква, которая читается как «фи»). Чем знаменитее число, тем больше у него имен[445]. Если вам нужна точная формула, то золотое сечение φ = (1 +√5) / 2.

Люди веками поднимали шум из-за этого числа. У Евклида пропорция носит более приземленное название «деление в среднем и крайнем отношении». Это число требовалось Евклиду для построения правильного пятиугольника, ведь золотое сечение – это отношение длины диагонали правильного пятиугольника к его стороне. Иоганн Кеплер называл теорему Пифагора и золотое сечение главными сокровищами классической геометрии: «Первое мы можем сравнить с массой золота[446], второе можем назвать драгоценным камнем».