Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Каждая из этих линий попала в одно из тысячи отделений. Само золотое сечение находится в 619-м отделении. (Не в 618-м – по той же причине, по которой мы сейчас живем в XXI веке, хотя номер года начинается с 20; первое отделение соответствует числам между 0,000 и 0,001, второе – числам между 0,001 и 0,002 и так далее.) Следующее кратное 2φ попадет в отделение номер 237, 3φ – в отделение номер 855. Продолжайте раскладывать числа по отделениям. Если какое-то из этих кратных окажется в первом отделении, мы выиграем, потому что в этом случае какое-то число qφ будет иметь дробную часть от 0 до 0,001. Это значит, что разница между qφ и каким-то целым числом p составляет не более 0,001, а потому после деления обоих чисел на q получаем, что разница между φ и дробью ^p/_q составляет не более одной тысячной от ¹/_q.

Но почему какое-то кратное должно попасть в первое отделение? Может быть, подобно фишке в игре «Монополия», никак не желающей попадать на нужное нам поле, кратные будут обходить это отделение?

Вот тут и появляется замечательная идея Дирихле. Сам математик называл ее «принципом выдвижных ящиков» (Schubfachprinzip), а в англоязычных странах называют «принципом голубей и ящиков»[451]. Он гласит: если вы рассаживаете голубей по ящикам и количество голубей больше, чем ящиков, то как минимум в одном ящике окажется два голубя.

Это утверждение настолько очевидно, что трудно поверить в его полезность. Иногда такое случается с самой глубокой математикой.

В нашем случае голуби – это числа, кратные φ, а ящики – это тысяча отделений. Если мы возьмем 1001 число, кратное φ, то как минимум два из них попадут в одно отделение. Предположим, в одном отделении окажутся 238φ и 576φ. На самом деле это не так (эта пара чисел находится в отделениях 93 и 988 соответственно), но допустим, что так. Тогда разность между ними должна быть не более ¹/₁₀₀₀ от какого-то целого числа. Назовем его p. Однако эта разность составляет 338φ. Следовательно, число 338φ должно оказаться в первом отделении или, честно говоря, в самом последнем отделении, заканчивающемся числом 0,999… (числа там тоже отличаются от целого не больше чем на ¹/₁₀₀₀). В любом случае ^p/₃₃₈ – это наше требуемое приближение.

Не имеет значения, какие именно два кратных числа φ окажутся в одном отделении; любая пара даст дробь, достаточно близкую к φ. На самом деле первые голуби, оказывающиеся в одном ящике, – это числа φ и 611φ = 988,6187…; оба попадают в отделение 619. Их разность равна 610φ, то есть примерно 987,0007, и поэтому ⁹⁸⁷/₆₁₀ – действительно хорошее приближение для φ. Вы не удивитесь, узнав, что 610 и 987 являются последовательными членами последовательности Фибоначчи, идущими как раз после того места, где мы остановились в вычислениях.

В числе 1000 нет ничего принципиального. Если вы желаете найти рациональное число ^p/_q, которое отличается от φ менее чем на миллионную долю ¹/_q, то можете добиться и этого, хотя, возможно, число q будет равняться почти миллиону.

Разность между «близким отношением» Цзу Чунчжи ³⁵⁵/₁₁₃ и π составляет всего одну тридцатитысячную от ¹/₁₁₃. Что касается метода Петера Густава Лежёна Дирихле, то вам, возможно, придется искать дроби со знаменателем едва ли не в 30 000, чтобы найти такое же хорошее приближение. Однако на самом деле этого не потребуется! Число «милю» – это не просто хорошее приближение для π, а потрясающе хорошее приближение.

Давайте посмотрим, как это выглядит на числовой прямой. Если я посмотрю на первые триста кратных числа ¹/₇ и отмечу их дробные части вертикальным штрихом, как делал для числа φ, то получу такую картинку. На ней всего семь линий, поскольку, на какое число ни умножай ¹/₇, я получу какое-то количество седьмых, дробная часть которых будет 0, ¹/₇, ²/₇, ³/₇, ⁴/₇, ⁵/₇ или ⁶/₇.

То же самое верно и для любого рационального числа; мы можем брать сколь угодно кратных, однако линии будут образовывать конечный набор, равномерно распределенный между 0 и 1.

А что насчет π? Вот дробные части для трехсот первых кратных.

Здесь штрихов много. Но не триста. Если бы вы сосчитали видимые линии, то увидели бы, что их ровно 113. Вы видите тут подпись числа «милю». Поскольку π очень близко к ³⁵⁵/₁₁₃, то его первые триста кратных тоже близки к какому-то количеству «сто тринадцатых», а это означает, что штрихи останутся очень близкими к числам 0, ¹/₁₁₃, ²/₁₁₃ (представьте, что я здесь написал все 113 вариантов), ¹¹²/₁₁₃. Поскольку π не точно равно ³⁵⁵/₁₁₃, то его кратные не точно попадут в места этих дробей: более толстые линии на рисунке – на самом деле несколько линий, слившихся вместе.

Это возвращает нас к золотому сечению. Штрихкод для числа φ, который я уже рисовал выше, распределен равномернее, без кластеров, как у линий числа р. Нарисуйте тысячу кратных – и получите то же самое, только линий будет больше.