Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Сколько бы кратных числа φ мы ни брали – тысячу, миллиард или больше, – эти линии никогда не окажутся в каком-то маленьком множестве равномерных положений, как это было в случае рациональных чисел, и даже не сконцентрируются около таких положений, как в случае с числом р. Здесь нет своего числа «милю».

Вот красивый факт, который несколько сложноват для того, чтобы привести здесь его доказательство: вы не найдете лучших рациональных приближений для φ, чем те, которые дает последовательность Фибоначчи, и эти приближения никогда не будут существенно лучше тех, что гарантирует теорема Дирихле. Фактически в каком-то смысле (этому утверждению можно придать строгость, но не здесь) из всех вещественных чисел φ хуже всего аппроксимируется дробями; это самое иррациональное из иррациональных чисел. Для меня этот факт – вполне драгоценный камень.

В ПОИСКАХ ОПРЕДЕЛЕННОГО ОТНОШЕНИЯ

Однажды в 1990-х я ужинал с другом моего друга в ресторане Galaxy Diner в Нью-Йорке. Друг моего друга сказал, что снимает фильм о математике и хотел бы поговорить с профессионалом о том, на что реально похожа математическая жизнь. Мы ели бутерброды с говядиной под расплавленным сыром, а я рассказывал какие-то истории. Прошли годы, и я уже об этом забыл. Друга моего друга звали Даррен Аронофски, и в 1998 году вышел его фильм «Пи». Главный герой картины Макс Коэн занимается теорией чисел, крайне напряженно размышляет и вечно теребит волосы. Он встречает хасида, который заинтересовал его еврейской нумерологией – методом под названием гематрия[452], когда слово превращают в число путем сложения числовых значений всех букв иврита, которые оно содержит. Хасид объясняет, что при сложении значений букв в еврейском слове «восток» получается 144, а в словосочетании «древо жизни» – 233. Макс заинтригован, ведь это числа Фибоначчи! Он выписывает еще несколько чисел Фибоначчи на страницах газеты, посвященных фондовому рынку. «Никогда раньше такого не видел», – замечает впечатленный хасид. Макс лихорадочно программирует свой компьютер (носящий имя Евклид) и рисует спирали из золотых прямоугольников, а затем долго пялится на похожие спирали молока в своем кофе. Он вычисляет 216-значное число. По-видимому, это ключ к прогнозированию цен на акции, а также возможное тайное имя Бога. Он много играет в го со своим научным руководителем. («Прекрати размышлять, Макс. Просто чувствуй. Используй интуицию».) Приступы головной боли усиливаются, он все чаще теребит волосы. Им увлекается красивая девушка из соседней квартиры. Я забыл упомянуть, что фильм черно-белый. Кто-то пытается похитить героя. Наконец, он сверлит отверстие в собственном черепе, чтобы частично снизить математическое давление, и фильм подходит к тому, что кажется счастливым концом.

Не помню, что я рассказывал Аронофски о математике, но точно не это.

(Честно признаюсь: после выхода фильма «Пи», когда мне было уже ближе к тридцати, я не раз сидел в кафе, тактически грамотно положив на видном месте свой потрепанный экземпляр книги Робина Хартсхорна «Алгебраическая геометрия», весьма напряженно думал и теребил волосы пальцами. Однако никто так и не заинтересовался.)

Аронофски узнал о числах Фибоначчи в старших классах из курса «Математика и мистицизм» и сразу ощутил родство с этой последовательностью, поскольку его домашний индекс – 11235. Такое внимание к совпадениям и закономерностям, значимое или нет, характерно для нумерологии золотого сечения. Где-то по дороге понятное влечение к математическим свойствам числа 1,618… вылилось в куда более грандиозные претензии. Специалист по теории чисел Джордж Баллард Мэтьюз еще в 1904 году «жаловался на фильм Аронофски»: