Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Ситуация в квантовой физике во многом похожа. Операторы определения положения и импульса не коммутируют. И разница между положением импульса и импульсом положения для состояния частицы – это просто… ну, не само это состояние, а состояние, умноженное на некоторое число, известное как постоянная Планка и обозначаемое ħ[485]. В частности, это означает, что разность не может быть нулевой[486], откуда, в свою очередь, следует, что состояние частицы не может быть собственным одновременно и для оператора определения положения, и для оператора определения импульса. Иными словами, у частицы нельзя одновременно точно определить и положение, и импульс. В квантовой механике это утверждение называется принципом неопределенности Гейзенберга, и он окружен покровом тайны и загадочности. Хотя на деле это всего лишь собственные значения.

Очевидно, мы многое опустили[487]. Мы постоянно говорим, что массу интересных последовательностей можно представить в виде комбинации геометрических прогрессий и что состояние частиц можно разложить как комбинации реальных собственных состояний. Но как на практике это реализовать? Вот пример из более классической части физики. Звуковую волну можно разложить на чистые тона, которые представляют собой собственные значения для какой-то операции; их собственное значение определяется частотой – нотой, которую они дают. Если вы слышите аккорд до мажор, то это комбинация трех собственных волн: с собственным значением до (C), с собственным значением ми (E) и с собственным значением соль (G). Для разделения волны на составляющие собственные значения применяют математический механизм под названием преобразование Фурье. Эта область математики появилась только в XIX веке, и в этой интересной истории переплетаются анализ, геометрия и линейная алгебра.

Однако вы способны услышать отдельные ноты в аккорде, даже если не знаете анализа! Причина в том, что это геометрическое вычисление, на разработку которого у математиков ушли сотни лет, также умеет выполнять изогнутый кусок плоти в вашем ухе, именуемый улиткой[488]. Геометрия существовала в наших телах задолго до того, как мы научились излагать ее на страницах книг.

Глава 13. Складка в пространстве

Одним из первых примеров применения теории случайных блужданий Маркова была работа венгерского математика Дьёрдя Пойа и его ученика Флориана Эггенбергера, посвященная распространению явлений в двумерном пространстве. Игнорируя презрение неистового русского к практической реализации, они использовали марковские процессы[489] для моделирования оспы, скарлатины, крушений поездов и взрывов паровых котлов. Эггенбергер назвал диссертацию «Вероятностная инфекция» (поскольку она была на немецком языке, ученый обошелся одним словом: Wahrscheinlichkeitsansteckung).

Распространение болезни в виде случайного блуждания в пространстве можно представить следующим образом. Предположим, мы начинаем в какой-то точке квадратной сетки, похожей на карту Манхэттена. Точка – это инфицированный вирусом человек. Его личные контакты – это четыре человека в соседних точках сетки. Для максимальной простоты допустим, что каждый человек ежедневно заражает всех людей, которым не повезло быть его соседями.

У каждого человека есть четыре соседа по сетке, поэтому можно подумать, что мы увидим экспоненциально растущую пандемию с R₀ = 4. Но это не так. Через день инфицированы пятеро:

через два дня – 13:

а через три – 25:

Получается последовательность: 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113… Она растет быстрее, чем арифметическая прогрессия (разница между соседними членами не постоянна, а увеличивается)[490], но медленнее любой геометрической. Поначалу каждый член превышает предыдущий более чем вдвое, но далее вы видите, что ¹¹³/₈₅ – уже всего лишь 1,33.

При построении своей первой модели заболевания мы видели, что случаи заражения росли в геометрической прогрессии. Эта модель другая, потому что мы думаем не только о том, сколько людей инфицировано, но и о том, где и насколько далеко они находятся друг от друга. Мы учитываем геометрию. Геометрия такого рода эпидемии – диагонально ориентированный квадрат[491] с центром в нулевом пациенте, постепенно расширяющийся день ото дня с постоянной скоростью. Это совершенно не то, что мы видели в случае COVID-19, который, казалось, охватил весь мир за несколько недель.

Почему же рост такой медленный? Потому что встреченные вами четыре человека – это не четыре человека, выбранные наугад из всего населения Северной Дакоты, а люди рядом с вами. Если вы – вот этот человек:

то заражены сразу двое из тех четверых, с кем вы будете контактировать. Еще неинфицированный человек к северу от вас получит вирус и от вас, и от своего западного соседа. Вирус распространяется избыточно, снова и снова сталкиваясь с одними и теми же людьми.