Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Несколько проще понять эту ситуацию на примере игры «Монополия». Это случайное блуждание: ваша фишка перемещается между сорока полями в соответствии с указаниями игрального кубика. В 1972 году Роберт Эш и Ричард Бишоп вычислили предельные вероятности[477] для этой игры. Самым вероятным полем для фишки оказалась тюрьма: там в среднем проводится 11 % всего времени[478]. Но если вы хотите знать, где должны строить дома и отели, вам нужно определить, на какие поля с собственностью фишки попадают с наибольшей вероятностью. Лучше всего поле «Иллинойс-авеню», где фишка проводит 3,55 % времени, что существенно выше, чем те 2,5 %, которых вы могли ожидать при равномерном случайном распределении по сорока имеющимся на доске полям. Конечно же, в любой конкретной партии вы можете вообще не попадать сюда (во всяком случае, так вечно происходит с моими везучими детьми, когда я строю дома на Иллинойс-авеню, подчиняясь законам вероятности). Но в целом, если вы будете отслеживать, куда попадают все игроки во всех играх за длительный промежуток времени, то, согласно закону долгих блужданий, именно к таким долям вы будете приближаться.

Для каждого из сорока полей существует предельная вероятность, и поэтому у вас есть список из сорока чисел. Такая штука называется вектором, но этот вектор не просто вектор, а собственный вектор. Как и собственное значение, он фиксирует нечто присущее долговременному поведению системы, что не очевидно при простом взгляде на нее, нечто скрытое, как дым в табачном листе.

То, что Эш и Бишоп сделали для «Монополии», создатели Google сделали для всего интернета. Точнее, тут надо сказать «делают», потому что в интернете, в отличие от «Монополии», постоянно появляются новые сайты и исчезают старые. Предельная вероятность для сайта дает вам оценку, которую они назвали PageRank, и она отражает истинную геометрию интернета лучше, чем что-либо ранее.

Это действительно осуществляется красиво. Вероятность оказаться в определенном месте интернета – это сложная сумма геометрических прогрессий, как это было с общим количеством зараженных в двух Дакотах, только сейчас у нас не две, а миллиарды Дакот. Кажется, что такое невозможно проанализировать. Однако помните: геометрическая прогрессия может экспоненциально расти, экспоненциально затухать, а на границе между этими вариантами оставаться постоянной. Для описанного случайного блуждания одна из геометрических прогрессий постоянна, а все остальные экспоненциально затухают. Их вклад становится все меньше и меньше по мере блуждания. Мы можем увидеть это даже на примере простого блуждания комара по двум болотам из главы 4. Анализ показал, что треть времени комар проведет на одном из болот. Однако мы можем уточнить: если комар начинает свой путь с болота 1, то вероятность того, что он окажется в болоте 1 через день, равна 0,8, через два дня – 0,66, а через три дня – 0,562[479]; мы можем объединить их в такой ряд:

1, 0,8, 0,66, 0,562, 0,493…

и со временем они будут стремиться к числу ¹/₃ – долгосрочной вероятности нахождения комара в этом болоте. Эта последовательность не геометрическая прогрессия, а результат (полагаю, это вас уже не удивит) сложения двух прогрессий. Одна их них – постоянная:

¹/₃, ¹/₃, ¹/₃, ¹/₃, ¹/₃…

а другая – нет, и каждый ее член на 70 % меньше предыдущего:

²/₃, ¹⁴/₃₀, ⁹⁸/₃₀₀…

Со временем эта вторая прогрессия неумолимо сходится практически к нулю, оставляя лишь постоянный рефрен: ¹/₃.

Что верно для двух болот, то верно и для миллиардов сайтов. Операция случайного блуждания устраняет все несущественные затруднения с сетью. В конце остается одна постоянная геометрическая прогрессия – единственное неизменное число, в то время как все остальное исчезает, как при удержании клавиши фортепиано остается чистый тон, пока не стихнут гармоники. Оставшееся число – это и есть PageRank.

НОТЫ В АККОРДЕ

Столь замысловатое наложение сотен тысяч взаимосвязанных моделей, геометрических прогрессий или чего-нибудь еще более устрашающего поначалу может показаться несколько вычурным, как доньютоновская теория эпициклов, согласно которой движение планет представлялось в виде сложной комбинации круговых движений, когда планета двигалась по кругу, центр которого двигался по другому кругу[480]. Или, если уж на то пошло, как волновая теория Эллиотта с ее маленькими и средними волнами, накладывающимися на ультра-супермегациклы. Однако собственные значения – это настоящая математика, и она повсюду. Они находятся в сердце квантовой механики, и я бы хотел рассказать эту геометрическую историю здесь. Пожалуй, я расскажу одну ее маленькую часть, поскольку она дает мне возможность разместить в конце главы настоящее математическое определение. Хватит неопределенности, давайте вычислять!

Рассмотрим бесконечную последовательность – и не просто бесконечную, а бесконечную в обе стороны:

… ¹/₈, ¹/₄, ¹/₂, 1, 2, 4, 8…