Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Итак, у какой же частицы окажутся точно определенными и положение, и импульс? Она была бы аналогом последовательности чисел, которая оказалась бы собственной последовательностью и для сдвига, и для крена. Но такой последовательности не существует! Собственная последовательность для операции сдвига – геометрическая прогрессия. Собственная последовательность для операции крена – последовательность с единственным ненулевым элементом.

Никакая ненулевая последовательность не может одновременно быть и той и другой.

Вот еще один способ доказать этот факт, который еще сильнее приближает нас к квантовой физике. (Оставшаяся часть главы – отличный повод взять бумагу и карандаш, но если вы ее просто бегло прочитаете, я не стану вас осуждать.) Начнем с вопроса: что произойдет, если применить к последовательности обе операции? Скажем, мы начали с последовательности:

Тогда сдвиг дает:

а операция крена, то есть умножения на номер (помните, что число – 3, которое было на первом месте, теперь находится на нулевом месте, число 1 – на минус первом месте и так далее) дает:

Можно было бы назвать эту комбинированную операцию «сдвиг, затем крен» или, для краткости, сдвигокрен[482]. Но почему мы ее делали в таком порядке? Что, если выполнить операцию «сдвиг, затем крен»? Исходная последовательность после операции крена превращается в:

и когда вы затем ее сдвинете, то получите:

Выходит, что креносдвиг – вовсе не то же самое, что сдвигокрен! Мы обнаружили явление, называемое некоммутативностью. Этим вычурным математическим словом обозначается тот факт, что выполнение одного действия, а потом второго не всегда приводит к тому же результату, что и их выполнение в обратном порядке, то есть сперва второе, а затем первое. Школьная математика в основном коммутативна: умножение на 3, а потом на 2 – это то же самое, что умножение на 2, а затем на 3. Некоторые операции в физическом мире тоже коммутативны: например, надевание левой и правой перчаток. В каком порядке их ни надевай, результат будет одинаковым – обе руки в перчатках. Однако попробуйте натянуть туфли раньше носков – и столкнетесь с некоммутативностью.

Но какое отношение это имеет к собственным значениям? Все сводится к разности между креносдвигом и сдвигокреном. Вычтем сдвигокрен из креносдвига:

и получим последовательность:

Но ведь именно с нее мы и начинали! (Ну, если точнее, это – ее сдвиг.) На самом деле неважно, с какой последовательности вы начнете, – разность между креносдвигом и сдвигокреном всегда будет сдвигом первоначальной последовательности. А теперь предположим, что вы каким-то образом умудрились найти загадочную последовательность S, которая является собственной и для операции сдвига, и для операции крена: допустим, например, что сдвиг S – это утроенная S, а крен S – это удвоенная S. В этом случае крен сдвига S – это крен утроенной S, а потому должен быть 6S[483]. Аналогичные рассуждения показывают, что и сдвиг крена S – тоже 6S. Следовательно, разность между креносдвигом и сдвигокреном – это последовательность из одних нулей. Однако эта разность – сама по себе сдвиг S! Стало быть, последовательность S – нулевая, а, как было оговорено ранее[484], ее мы не учитываем.

Идея собственной последовательности – понять, когда такие операции, как сдвиг и крен, действуют подобно умножению. Однако умножения коммутируют между собой, а сдвиг и крен – нет. Вот вам и нестыковка! Операции как бы похожи, но не совсем. С той же нестыковкой столкнулся Уильям Роуэн Гамильтон при определении своих любимых кватернионов. Он хотел рассматривать поворот как своеобразное число, но повороты не коммутировали: результат поворота на 20 градусов вокруг одной оси и последующего поворота на 30 градусов вокруг другой оси оказывался вовсе не тем же самым, что результат тех же двух поворотов, выполненных в обратном порядке. Чтобы получить «числа», моделирующие вращения, ему пришлось отказаться от аксиомы коммутативности. (Разумеется, некоторые повороты могут коммутировать, – например, если производятся вокруг одной оси. Стоит отметить, что в этом случае любая точка на этой общей оси остается неподвижной при обоих поворотах; это собственное направление для обоих поворотов сразу, причем собственное значение в обоих случаях равно 1.)