Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Такую последовательность можно сдвинуть на одно место влево:

… ¹/₄, ¹/₂, 1, 2, 4, 8, 16…

В этом случае происходит нечто очень интересное: сдвиг последовательности на один шаг влево – то же самое, что и удвоение каждого члена. Причина в том, что эта последовательность – геометрическая прогрессия! Если бы я взял прогрессию со знаменателем 3, то сдвиг умножал бы каждый член последовательности на 3. Но если бы я использовал последовательность, не являющуюся геометрической прогрессией, например:

…–2, –1, 0, 1, 2…

то сдвинутый вариант

…–1, 0, 1, 2, 3…

не был бы кратным для исходной последовательности. Последовательности с тем особым свойством, что сдвиг умножает их на какое-то число (то есть геометрические прогрессии), – это собственные последовательности для операции сдвига, а число, на которое умножается такая собственная последовательность, – это собственное значение.

Сдвиг не единственное, что можно сделать с последовательностью. Например, мы можем умножить каждый член на его номер: нулевой член на 0, первый – на 1, второй – на 2, минус первый по порядку – на – 1 и так далее. Давайте назовем эту операцию креном. Если мы проведем крен для нашей геометрической прогрессии (считая нулевым членом 1), то преобразуем

… ¹/₈, ¹/₄, ¹/₂, 1, 2, 4, 8…

в

…–³/₈, –²/₄, –¹/₂, 0, 2, 8, 24…

Эта последовательность не кратна исходной, так что наша геометрическая прогрессия не является собственной последовательностью для преобразования крена. Собственной последовательностью для операции крена будет последовательность вроде этой:

…0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0…

где в позиции 2 стоит единица, а все остальные члены равны нулю.

Проведите крен для этой последовательности, и получите

…0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0…

которая вдвое больше исходной. Поэтому это собственная последовательность для операции крена с собственным значением 2. На самом деле можно показать (вы сможете?), что только последовательности с одним ненулевым членом могут быть собственными последовательностями для преобразования крена. (А как насчет последовательности из одних нулей? Она действительно кратна себе самой хоть при сдвиге, хоть при крене, однако нулевая последовательность не считается; одна из причин – отсутствие способа определить, каким кратным себя она является.)

Возможно, вы слышали, что на нижнем уровне организации материи частица, как правило, не имеет четко определенного положения или импульса, а существует скорее в форме облака неопределенности в отношении того или иного из этих параметров. Можно думать об определении положения как об операции, которую мы можем выполнить над частицей, – точно так же, как совершали операцию сдвига над последовательностью. Если точнее, частица имеет состояние, где фиксируется все о ее текущей физической ситуации, а операция под названием «определение положения» каким-то образом меняет его. Для целей нашего обсуждения неважно, какого рода сущность именуется состоянием[481], но важно, что состояние – это что-то, что можно умножать на число, как последовательность. И точно так же, как собственной последовательностью для операции сдвига была некая последовательность, умножаемая при сдвиге на число, так и собственное состояние для операции определения положения получается путем умножения на число (собственное значение) при такой операции. Оказывается, частица действует так, словно имеет точное положение в пространстве, именно тогда, когда ее состояние является собственным. (И каково же ее положение? Это вы можете узнать с помощью собственного значения.) Однако большинство состояний не являются собственными состояниями, так же как большинство последовательностей – не геометрические прогрессии. Однако, как мы уже видели, более широкий класс последовательностей, например Вираханки – Фибоначчи, часто можно разложить в комбинацию геометрических прогрессий, и так же состояние, не являющееся собственным, можно разложить в комбинацию собственных состояний, где каждое будет иметь собственное значение. Одни собственные состояния проявляются с большей интенсивностью, другие – с меньшей, и именно этот разброс определяет вероятность обнаружить данную частицу в любом конкретном месте.

Аналогичная ситуация и с импульсом частицы: определение импульса – это еще одна операция с состояниями, которую можно представлять как аналог операции крена. Частица с точно определенным значением импульса (а не смутным вероятностным облачком) была бы собственным значением для такого оператора – аналогом собственной последовательности для операции крена.