Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Это до странности сложное число, управляющее скоростью геометрического роста, называется собственным значением. Золотое сечение – всего лишь один из вариантов; его приятные свойства проистекают из того факта, что оно – собственное значение очень простой системы. У других систем – другие собственные значения; на самом деле в большинстве систем их больше одного. В самом первом сценарии для Дакот эпидемия состояла из двух разных вспышек: в обоих случаях рост был геометрическим, только в первом еженедельно происходило утроение числа больных, а во втором – удвоение. Со временем начала доминировать более мощная вспышка: суммарное число заболеваний стало примерно геометрической прогрессией со знаменателем 3. В такой ситуации у вас есть два собственных значения – 2 и 3, причем важно наибольшее из них.

В системах, где разные части взаимодействуют между собой, не так просто понять, как разделить процесс на отдельные идеальные геометрические прогрессии. Но вы сможете! Например, вот геометрическая прогрессия, которая начинается с числа, примерно равного 0,7236… а каждый последующий ее член в φ раз больше предыдущего:

0,7236… 1,1708… 1,8944… 3,0652… 4,9596…

А вот еще одна, которая начинается с 0,2764… и имеет отрицательный знаменатель – 0,618… (на самом деле это просто число 1 – φ). У этой последовательности наблюдается экспоненциальное убывание к нулю, а не экспоненциальный рост, как у эпидемий с маленьким показателем R₀. (Ну, возможно, не совсем так, поскольку у нас каждое второе число получается отрицательным.)

0,2764… –0,1708… 0,1056… –0,0652… 0,0403…

Сложите эти два геометрических ряда – и произойдет нечто замечательное: хвосты после десятичных точек исчезнут, а вы получите в точности последовательность Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5…

Другими словами, последовательность Фибоначчи – это не геометрическая прогрессия, а сумма двух геометрических прогрессий, одна из которых определяется золотым сечением φ, а другая – числом 1 – φ = –0,618… Это два собственных значения. В долгосрочной перспективе реальное значение имеет только большее из них.

Но откуда взялись эти два числа? Это не какое-то северное и южное собственное значение; каждое из чисел 1,618… и – 0,618… отражает нечто глубокое и глобальное в поведении системы. Это не свойство отдельных частей системы, а результат взаимодействия между ее частями. Алгебраист Джеймс Джозеф Сильвестр (о котором мы скоро расскажем) назвал эти числа скрытыми корнями. Как он ярко объяснял, «скрытыми в том смысле[472], в каком можно сказать, что пар скрыт в воде или дым в табачном листе». К сожалению, англоговорящие математики предпочли наполовину перевести предложенное Давидом Гильбертом слово Eigenwert, означающее по-немецки «собственная стоимость или значение»[473], [474].

Мы не обязаны разделять пандемию по географическому признаку и можем использовать любые категории. Например, разделим дакотцев не на северных и южных, а на две (или пять, или десять) возрастные группы, отслеживая во всех случаях степень взаимодействия внутри каждой группы и между группами. В ситуации с десятью группами получается довольно много информации; чтобы упорядочить ее, вы можете взять таблицу 10 × 10 и, например, на пересечении третьей строки и седьмого столбца вписать число близких личных контактов между участниками третьей и седьмой возрастных групп. (Это может быть несколько избыточно, поскольку то же самое число вы поставите на пересечении седьмой строки и третьего столбца; однако если вы считаете, что молодые передают инфекцию пожилым с большей вероятностью (или наоборот), то вполне можете использовать для этих клеток разные числа.) Такую таблицу чисел Сильвестр назвал матрицей, и название прижилось. Вычисление собственного значения матрицы – скрытого числа, которое определяет рост системы, состоящей из многих частей и описываемых такой таблицей чисел, – математики стали считать одним из фундаментальных. Большинство математиков вычисляют собственные значения ежедневно.