Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Чем чаще вы перетасовываете колоду, тем более равномерно случайной она становится. Это кажется естественным (и было бы крайне неприятно для всех дилеров блек-джека, если бы дела обстояли иначе), однако доказать это непросто. Одно из первых объяснений[548] можно найти в книге старого доброго Пуанкаре, который отвлекся от геометрии ради статьи по вероятности. Используемая в ней математика во многом та же, что и в основе гугловского PageRank, – закон долгих блужданий. Когда вы наугад блуждаете по пространству всевозможных порядков карт в колоде, память об исходной точке начинает постепенно стираться. Вы могли начать где угодно. Отличие PageRank от карт в том, что одни веб-страницы популярнее других, так что человек, бродящий по интернету, будет проводить на них больше времени, увеличивая их параметр PageRank. В колоде все упорядочения карт одинаково хороши, и если перетасовывать их достаточно долго, то шансы получить тот или иной порядок равны.

Если жертва телепатического трюка Джордана перетасует карты два раза, а не один, то фокус не сработает, – по крайней мере, так, как описано. Это вдохновило Диакониса и его соавтора Дэйва Байера[549] на вопрос: сколько раз нужно перетасовать колоду методом перелистывания, чтобы порядок карт в ней настолько приблизился к равномерному, что трюки с картами станут невозможны?

Оказывается, шестикратного тасования достаточно, чтобы добиться любого порядка карт в колоде. Можно сказать, что 6 – это радиус такой геометрии, то есть наибольшее расстояние, пройденное от центра, пока еще хватает места. Точно так же, как 13 – наибольшее число Эрдёша, которое может быть у математика, 6 – это максимальное число тасований, которое может быть у некоторой перестановки карт. (Как и следовало ожидать, одна из перестановок, где требуется шесть тасований, – та, где все карты расположены в обратном порядке.) Итак, геометрия тасования карт велика, но каким-то образом и мала, подобно миру с межконтинентальными рейсами: различных точек много, но, чтобы добраться из одной в другую, не требуется много шагов.

Однако даже после шести тасований некоторые порядки карт гораздо вероятнее других. Оказывается, никакое количество тасований не делает все порядки абсолютно равновероятными, но вероятности довольно быстро становятся к ним настолько близки, что значимой разницы между ними уже нет. Ни один фокусник, даже самый искусный, уже не сможет определить карту, которую вы перекладывали из одной стопки в другую. Диаконис и Байер смогли измерить эту схождение в сторону равномерности. В математическом мире этот результат называют «теоремой о семи тасованиях», поскольку семь тасований обеспечивают[550] разумную степень перемешивания.

Диаконис интересовался тасованием карт, потому что был фокусником. А чем обусловлен интерес Пуанкаре? Отчасти это связано с физикой. Как и все ученые того времени, Пуанкаре был озадачен проблемой энтропии. Концепция Больцмана, что поведение материи можно вывести из совокупного поведения мириад отдельных молекул, сталкивающихся в соответствии с законами Ньютона, выглядела привлекательной и элегантной. Однако законы Ньютона обратимы во времени: они одинаково работают и вперед, и назад. Почему же тогда в соответствии со вторым законом термодинамики энтропия всегда увеличивается? Если смешать горячий и холодный суп, быстро получится теплый, однако теплый суп никогда самопроизвольно не разделится в тарелке на горячую и холодную половину.

Один ответ исходит из вероятностей. Возможно, дело не в том, что энтропия невозможна, а в том, что она крайне маловероятна. Тасование карт – это тоже обратимый во времени процесс. Скорее всего, вы никогда не тасовали колоду так, чтобы в итоге порядок карт в ней оказался тем же, что и в фабричной упаковке. Однако причина не в невозможности – такое возможно! Просто маловероятно. Точно так же длинная гибкая веревка (например, шнур от наушников) склонна запутываться узлами, когда вы суете ее в карман, – так подсказывает вам жизненный опыт и статья 2007 года с убийственным названием «Самопроизвольное завязывание узлов при встряхивании веревки» (Spontaneous Knotting of an Agitated String)[551]. Однако причина не в существовании универсального закона об увеличении запутанности, а в наличии для веревки гораздо большего количества способов запутаться, чем распутаться, а потому случайные подергивания вряд ли приведут к редкому состоянию распутывания[552].