Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Я собираюсь научить вас тому, как читать мысли по почте. Да, я знаю, что фокусник никогда не раскрывает секреты трюков. Но я ведь не фокусник, а преподаватель математики. И секрет трюка Джордана кроется в геометрии тасования карт.

О геометрии тасования карт я узнал от Перси Диакониса, у которого писал дипломную работу. У многих профессиональных математиков довольно предсказуемый путь в науку. Но не у Диакониса – сына мандолиниста и учительницы музыки, сбежавшего из дома в 14 лет, чтобы стать фокусником в Нью-Йорке, затем поступившего в Городской колледж Нью-Йорка, чтобы изучать теорию вероятностей, потому что коллега сказал ему, что это улучшит его карточные навыки. Он встретил Мартина Гарднера, энтузиаста математики и фокусов[545], и тот написал для него рекомендательное письмо, включавшее такие слова: «Я не особо разбираюсь в математике, но этот парень изобрел два лучших карточных фокуса за последние десять лет. Вам следует дать ему шанс». В некоторых местах (например, таких как Принстон) это впечатления не произвело, но в Гарварде работал Фред Мостселлер – не только статистик, но и фокусник-любитель, и Диаконис стал его учеником. Когда я поступил в Гарвард, Перси был там уже профессором.

Вводные математические курсы для аспирантов не имеют в Гарварде определенного учебного плана: профессорам разрешается читать любой материал, который они сочтут подходящим. В осеннем семестре моего первого года обучения алгебру преподавал Барри Мазур, мой будущий научный руководитель, и курс был посвящен его (а позже и моей) области – алгебраической теории чисел. Весной у нас преподавал Диаконис, и целый семестр мы занимались тасованием карт.

Геометрия тасования карт во многом похожа на геометрию кинозвезд и математиков – только она гораздо, гораздо масштабнее. Точки этого пространства – способы, которыми можно упорядочить 52 карты. Сколько существует таких способов? Первую карту из колоды можно выбрать 52 способами. Следующей картой может быть любая из оставшихся в колоде, то есть ее можно выбрать 51 способом. Поэтому всего получается 52 × 51 = 2652 способа выбрать две карты. Третья карта выбирается 50 способами, что дает нам для первых трех карт 52 × 51 × 50 = 132 600 способов. Продолжая в том же духе, мы получим, что количество способов упорядочить 52 карты равно произведению всех чисел от 52 до 1. Это число обычно обозначается 52![546] и читается как «52 факториал», хотя в XIX веке его предлагали назвать «52 восхищение» – в соответствии с типографским знаком. Факториал числа 52 – это 67-значное число, и я не собираюсь загружать вас его точным значением. Но поверьте, оно определенно намного больше, чем число математиков или кинозвезд.

(Конечно, эта геометрия в каком-то наивном смысле меньше, чем геометрия скромного отрезка прямой, где бесконечно много точек!)

Чтобы получить какую-то геометрию, нам нужно понятие расстояния. Вот тут на сцену и выходит тасование. Под ним понимается тасование пролистыванием: вы делите колоду на две части, затем составляете новую стопку, выбирая по одной карте из каждой части слева или справа (необязательно строго чередовать обе стопки). Когда все карты будут выложены, появится новая перетасованная стопка. Обычно это выполняется с помощью приема «ласточкин хвост», когда вы сводите две стопки так, чтобы уголки слегка загибались кверху, а затем отпускаете, и карты начинают чередоваться с успокаивающим звуком «фр-р-р-р-р-р-р». Существуют и другие способы тасовать карты: например, если в одной из двух стопок всего одна карта, то вы можете вставить ее в любое место другой стопки. Это тоже будет пролистывание, хотя, вероятно, в реальной жизни вы так не делаете. Будем говорить, что один порядок карт связан со вторым, если от первого ко второму можно перейти с помощью тасования пролистыванием. Соответственно, расстояние между двумя порядками карт – это количество тасований, которые придется сделать, чтобы добраться от одного порядка до другого.

Существует около четырех с половиной квадриллионов различных тасований пролистыванием. Это много, но все равно не сравнимо с факториалом числа 52. Поэтому новая колода, вынутая из коробки и перетасованная таким способом один раз, не может дать совершенно произвольный порядок: это может быть только порядок, находящийся на расстоянии 1 от фабричного. В геометрии есть название для множества точек, которые находятся на расстоянии не более 1 от данной точки: мы называем это множество шар[547].

Малый размер шара – это ключ к умению читать мысли по почте. Суть трюка в следующем. Я отправляю вам колоду карт. Вы ее тасуете, делите перетасованную колоду на две стопки, выбираете любую карту из одной стопки, запоминаете ее и вставляете в другую стопку. Теперь возьмите любую из стопок, бросьте на пол, соберите снова, вложите в любом порядке в конверт и отправьте обратно мне. Я дистанционно проникну в ваш разум и вытащу из него ту карту, которую вы выбрали.

Как?