Фрактальная геометрия природы

Построение простейшей случайной пыли, способной усовершенствовать канторову модель ошибок при передаче (см. главу 8), начинается с простейшей формы канторова створаживания: с решетки интервалов с базой b и некоторого целого числа N. Однако вместо одного конкретного генератора нам предлагается список всех возможных канторовых генераторов, т.е. всех различных рядов, состоящих из N заполненных и b−N пустых промежутков. На каждом этапе построения случайным образом и с одинаковой вероятностью выбирается один из этих генераторов.

Любая принадлежащая творогу точка P определяется последовательностью вложенных «предтворожных» интервалов с длинами R_k=b^−k. Если общая исходная масса рана 1, то каждый предтворог содержит одинаковую массу R_k^D. Масса, содержащаяся в интервале длины 2R_k с центром в точке P, равна произведению R_k^D на некоторую случайную величину, лежащую в интервале от 1 до 2 и не зависящую от k.

Заметим, что размерность D ограничена последовательностью ln(b−1)/lnb, ln(b−2)/lnb,.... Это ограничение часто причиняет неудобства. Что более важно, вышеприведенное определение створаживания сложно реализуется в компьютерной программе и вообще плохо поддается аналитическим манипуляциям. Так как главное достоинство модели створаживания заключается в ее простоте, более предпочтительным, очевидно, окажется альтернативное определение, которое мы дадим в последующих разделах. Во избежание путаницы будем называть определение, приведенное в этом разделе, ограниченным (в [378] я предлагал иной термин: микроканоническое определение).

СТВОРОЖЕННАЯ СЛУЧАЙНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ПЫЛЬ

Более удобное определение створаживания (предложенное в [378], где я называю его каноническим) можно получить с помощью последовательности случайных двоичных выборов, каждый из которых определяется простым броском монеты. Бросок монеты на первом этапе решает последующую судьбу каждого из bподынтервалов. Если выпадает орел (событие с вероятностью p<1), то данный подынтервал «выживает» как часть предтворога; в противном случае мы с ним больше не встретимся. Изолированные точки, остающиеся между «мертвыми» подынтервалами любой длины, после каждого этапа стираются. Здесь, конечно, от них вреда немного, однако их плоскостные или пространственные аналоги (изолированные линии и т.д.) порождают в множестве ложную связность. Ожидаемое количество выживших подынтервалов равно =pb=p/r. Далее процесс возобновляется, причем каждый подынтервал обрабатывается независимо от других.

Формализм процесса рождения. Если назвать подынтервалы «детьми», а весь каскад – «семьей», то сразу станет ясно, что распределение количества детей определяется известным процессом рождения и гибели (см. [196]).

Фундаментальным следствием этого наблюдения является существование для величины критического значения: этот факт был открыт в 1845 году Иренеем Бьянеме (см. [212]) и вполне заслуженно называется эффектом Бьянеме.

Значение =1 является критическим в том смысле, что количество N(m) наличествующих в m - м поколении отпрысков ставит нас перед очень простой альтернативой. Если ≤1, то семейство почти наверняка вымрет, и в настоящей интерпретации это означает, что каскад даст, в конце концов, пустое множество. Если же >1, то генеалогическая линия каждого творога имеет ненулевую вероятность продолжиться на бесконечное число поколений. В этом случае случайное створаживание дает в пределе случайную линейную пыль.

Смысл размерности подобия. Так как отношение lnN(m)/ln(1/r) здесь изменяется случайным образом, понятие размерности подобия требует переосмысления. Из почти истинного соотношения

можно предположить, что обобщенная размерность подобия выглядит следующим образом:

D^*=ln/ln(1/r)=E−lnp/ln(1/r).

При таком определении D^* условие существования непустого предельного множества >1 принимает весьма логичный вид: D^*>0. Если D^*>0, то D=D^*. Если же мы формально применим эту формулу к случаю ≤1, то получим D≤0, однако фактически размерность D пустого множества всегда равна 0.

ВЛОЖЕННЫЕ ТВОРОГИ С УМЕНЬШАЮЩЕЙСЯ РАЗМЕРНОСТЬЮ D

Построим последовательность случайных творогов с уменьшающейся размерностью D, каждый из которых вложен в предыдущий.