Фрактальная геометрия природы

Эти свойства можно считать еще одним подтверждением того, что творог с фрактальной размерностью, заключенной в интервале 2, представляет собой нечто среднее между обычной поверхностью и объемной фигурой.

Доказательства. Самым простым оказывается доказательство для случая ограниченного створаживания. Объем m - го предтворога равен L³r^3mN^m=L³(r^3−D)^m, и величина эта стремится к нулю по мере уменьшения внутреннего масштаба η=r^m. Что касается площади, то случай D<2 устанавливается по верхнему пределу. Площадь предтворога m - го порядка не может превышать суммы площадей соответствующих вихрей, так как упомянутая сумма включает в себя те стороны субвихрей, которые, являясь общими для соседних творогов, нейтрализуют одна другую. Поскольку площадь каждого вихря m - го порядка составляет 6L²r^2m, их общая площадь не может превышать 6L²r^2mN^m=6L(r^2−D)^m. При D<2 верхний предел стремится к нулю по мере того, как m→∞, что доказывает наше утверждение. В случае D>2 мы можем получить нижний предел, отметив, что объединение вихрей m - го порядка, содержащихся в предтвороге m - го порядка, включает в себя, по крайней мере, один квадрат с длиной стороны r^m и площадью r^2m, каковой квадрат достается нам в наследство от предтворога (m−1) - го порядка и никак не может быть меньше, чем L²r^2mN^m−1=(L²/N)(r^2−D)^m, а эта величина стремится к бесконечности вместе с m. Наконец, при D=2 оба предела оказываются конечными и положительными.

РАЗМЕРНОСТЬ D ФРАКТАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ: ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ КОРАЗМЕРНОСТЕЙ

Наша следующая тема уже неоднократно упоминалась ранее. И вот теперь мы созрели для того, чтобы рассмотреть ее в полном и явном виде на примере одного особого случая.

Для начала припомним следующее стандартное свойство евклидовой геометрии плоскости: если размерность D некоторой фигуры удовлетворяет условию D≥1, то сечение этой фигуры прямой (если оно не пусто) «обычно» имеет размерность D−1. Например, непустое линейное сечение квадрата (D=2) представляет собой отрезок с размерностью 1=2−1. А линейное сечение прямой (D=1) - это точка (размерность 0=1−1), за исключением случая, когда обе прямые совпадают.

Стандартные геометрические правила, определяющие поведение размерности при пересечении, можно свести к следующему, более общему виду: если сумма коразмерностей C=E−D меньше E, то эта сумма является коразмерностью типичного пересечения; в противном случае пересечение, как правило, оказывается пустым. (Я приглашаю читателя самостоятельно проверить справедливость данного утверждения для различных пространственных конфигураций плоскостей и прямых.)

Упомянутое правило, к счастью, распространяется и на фрактальные размерности. Благодаря этому обстоятельству многие относящиеся к фракталам рассуждения становятся гораздо более простыми, чем можно было опасаться. Не следует, однако, забывать и о многочисленных исключениях из правила. Так, в частности, в главе 14 мы наблюдали, что при пересечении неслучайного фрактала J особым образом расположенной прямой или плоскостью далеко не всегда можно вывести размерность получающегося сечения из размерности фрактала J. Случайные фракталы в этом смысле заметно проще.

РАЗМЕРНОСТЬ D СЕЧЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ТВОРОГОВ

Для доказательства применимости этого фундаментального правила к фрактальному творогу рассмотрим следы (квадраты и интервалы), оставляемые вихрями и субвихрями каскада створаживания на поверхности либо на краю исходного вихря со стороной L. На каждом этапе каскада каждый участок предтворога замещается некоторым количеством меньших участков, причем количество это определяется процессом рождения и гибели. Обозначим количество «отпрысков» m - го поколения, расположенных вдоль края исходного вихря, через N₁(m). Классические выводы, уже использованные ранее в этой главе, показывают, что величина N₁(m) не оставляет нам богатого выбора. Если 1>=Nr²≤1 (т.е. D≤2), то можно быть почти уверенным, что семейство, в конце концов, вымирает, иными словами край вихря становится пустым, а размерность его, как следствие, равной нулю. Если же 1>>1 (т.е. D>2), то генеалогическая линия каждого края имеет, напротив, ненулевую вероятность продолжиться на бесконечное число поколений. Размерность подобия в этом случае равна D−2 согласно следующему почти всегда верному соотношению:

.

К двумерным следам вихрей применимы те же рассуждения, только нужно заменить величину N₁ на некоторую случайную величину N₂ - такую, что 2>=Nr. Если 2>≤1 (т.е. D≤1), то поверхность каждого вихря становится, в конце концов, пустой. Если же 2>>1 (т.е. D>1), то размерность подобия равна D−1 согласно следующему почти верному соотношению:

.

При ограниченном створаживании результаты остаются такими же.