Фрактальная геометрия природы

Тождественность поведения фрактальной и евклидовой размерности при пересечении подтверждается и следующим наблюдением: при пересечении нескольких створоженных фракталов, носителем которых является одна и та же решетка, а размерности равны, соответственно, D_m, выполняется равенство E−D=∑(E−D_m).

ТОПОЛОГИЯ ТВОРОГА: КЛАСТЕРЫ

Рискуя показаться занудным, все же позволю себе повториться: фундаментальные неравенства - D<2 для галактик (глава 9) и D>2 для турбулентности (глава 10) – являются не топологическими, но фрактальными.

При неслучайном створаживании в E≥2 (см. главы 13 и 14) топология предельного множества однозначно определяется выбранным в начале процесса генератором. Любой ковер Серпинского (D_T=1) представляет собой связной творог, а любая губка (D_T=1) или пена (D>D_T=2) - пространственный связной творог. Остальные твороги – это либо σ - кластеры, либо пыли. Таким образом, при E=3 и D>2 (т.е. в тех случаях, которые интересуют исследователей турбулентности) неслучайный каскад может привести либо к D_T=0 (пыль), либо к D_T=1 (кривые или σ - кривые), либо к D_T=2 (поверхности или σ - поверхности). Когда же E=3, а D<2 (этими случаями, как правило, занимается астрономия), топологическая размерность D_T может быть равна либо 0, либо 1.

Случайное же створаживание использует статистически смешанный генератор; о топологии предельного множества в этом случае можно говорить лишь «почти наверное» (см. конец главы 21). Сама неточность такого створаживания делает его настолько простым, что существенным становится тщательно исследовать имеющиеся в нем на этот счет предсказания. Наше теперешнее знание складывается из доказанных фактов и выведенных из косвенных свидетельств умозаключений.

Критические размерности. Топологическая размерность D_T творога дискретно изменяется, когда значение D пересекает определенные критические пороги, которые мы будем обозначать как D_крит,D₂крит,...,D_(E−1)крит. Иными словами, почти невозможно встретить смешанный творог, т.е. такой, который состоял бы из отдельных частей с различной размерностью D_T.

Порог D_крит - самый важный. Он, кроме того, является верхним пределом для тех значений D, при которых данный творог почти наверняка представляет собой пыль, а также нижним пределом для тех значений D, при которых данный творог почти наверняка распадается на бесконечное количество непересекающихся участков, каждый из которых представляет собой связное множество. По причинам, изложенным в главе 13, эти участки называются контактными кластерами.

Следующий порог, D₂крит, отделяет значения D, при которых творог представляет собой σ - кривую, от тех, при которых он становится σ - поверхностью, и т.д. Если (или когда) мы всерьез займемся исследованием топологии сыворотки, она, вполне возможно, одарит нас новыми критическими порогами.

Размерность кластеров. Когда D>D_крит, фрактальная размерность контактных кластеров D_c. По мере уменьшения значения D от E до D_крит размерность кластеров D_c сначала уменьшается от E до некоторого D_c min, а затем резко падает до нуля.

Распределение размеров кластеров. Распределение Pr(Λ>λ), Pr(A>a) и т.д. можно получить путем простой замены Nr на Pr с соответствующих формулах главы 13.

Пределы дляD_критиD₂крит. Очевидно, что D_крит≥1 и D₂крит≥2. В следующем разделе доказывается, что для порога D_крит существует верхний предел, меньший E, из чего можно заключить, что вышеприведенные определения и в самом деле имеют вполне конкретный смысл.

Кроме того, существуют и более связанные нижние пределы, не зависящие от b. Чуть позже я покажу, что достаточным условием для D_T=0 является D<½(E+1). Следовательно, D_крит>½(E+1)>1. Достаточным же условием для равенства D_T либо 0, либо 1, является D<½E+1. Следовательно, D₂крит>½E+1>2.

При E=3 находим D<½(E+1)=2, что вполне согласуется (даже с запасом) как со значением Фурнье – Хойла D=1, так и с эмпирическим значением для галактики, D~1,24. Таким образом, случайный творог с любым из этих значений D представляет собой пыль – чего мы, собственно, от него и добивались.