Фрактальная геометрия природы

Условие D<½E+1 дает при E=3 размерность D<2,5. Это пороговое значение (как ни странно) также хорошо вписывается в нашу картину и вполне соответствует оценке размерности носителя турбулентной перемежаемости. Опыт подсказывает, что достаточные условия, полученные с помощью приближенных методов, редко бывают оптимальными. Следовательно, можно предположить, что, согласно модели створаживания, носитель турбулентности должен представлять собой нечто меньшее, чем участок поверхности.

Отыскание нижних пределов. Существование нижних пределов обусловлено тем фактом (см. главу 13), что контактные кластеры в твороге возникают там, где сливается содержимое соседних ячеек. Рассмотрим в этой связи пересечение творога с плоскостью, перпендикулярной некоторой оси с координатой вида ab^−β, где α и β - целые числа. Известно, что при D>1 существует положительная вероятность того, что это пересечение непусто. Однако для слияния необходимо перекрытие между частичными вкладами в пересечение соседних ячеек с общей стороной, длина которой равна b^−β. Если эти вклады непусты, то они статистически независимы друг от друга; следовательно, размерность их перекрытия формально определяется выражением D^*=E−1−2(E−D)=2D−E−1.

Если D^*<0 (т.е. если D<½(E+1)), то вклады не перекрываются. Следовательно, данный творог никак не может содержать в себе непрерывную кривую, пересекающую нашу плоскость, и D_T<1.

Если D^*<1 (т.е. если D<½E+1), то перекрытие вкладов (при условии, что оно существует) не может содержать кривую. Следовательно, творог не может содержать в себе непрерывную поверхность, пересекающую плоскость, и D_T<2.

При D^*, где F>1 (т.е. при D<½(E+1+F)), аналогичное рассуждение исключает возможность существования какой бы то ни было гиперповерхности с размерностью D_T=F.

С учетом этих результатов не составляет большого труда завершить доказательство приведенных в предыдущем подразделе неравенств: если творог содержит в себе кривую (или поверхность), то любая точка P на этой кривой (поверхности) содержится внутри блока со стороной вида b^−β, который кривая (поверхность) пересекает в некоторой точке (или кривой). Можно утверждать, что таких точек (или кривых) почти наверняка не существует при D<½(E+1) (или при D<½E+1).

ПЕРКОЛЯЦИОННЫЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ КЛАСТЕРЫ

Обсуждение топологии лучше всего продолжать в рамках перколяционной терминологии. В соответствии с определением, приведенным в главе 13, мы говорим, что некая фигура внутри квадрата или куба перколирует, если она содержит в себе связную кривую, соединяющие противоположные стороны этого квадрата или куба. Под термином «перколяция» обычно понимают бернуллиеву перколяцию, которую мы рассматривали в главах 13 и 14. Однако аналогичная задача возникает и в контексте случайных фракталов. Ниже мы попытаемся решить эту задачу на примере случайного творога.

Опираться мы будем на фундаментальный факт, заключающийся в том, что если упомянутая фигура представляет собой σ - кластер, то она перколирует в том и только в том случае, если перколирует один из принадлежащих ей контактных кластеров. Когда контактные кластеры фрактальны и их длины подчиняются безмасштабному гиперболическому распределению, вероятность перколяции не зависит от длины стороны квадрата и не вырождается в 0 или 1. В бернуллиевой перколяции упомянутое в предыдущем предложении «когда» сводится к весьма жесткому условию: p=p_крит. Перколяция сквозь фрактальный творог довольствуется условием более мягким, а именно: D>D_крит. Разница очень значительна. И все же понимание бернуллиевой перколяции помогает понять перколяцию творога, и наоборот.

Верхний предел дляD_крит. Я утверждаю, что при b≥3 пороговое значение D_крит удовлетворяет неравенству b^Dкрит>b^E+½b^E−1. Точнее, при фиксированном N (ограниченное створаживание) выполнение этого условия почти гарантирует перколяцию. При неограниченном створаживании оно означает, что существует некая положительная, но малая вероятность того, что перколяция не произойдет.